ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) $3^x \cdot 7^{x+2} = 49 \cdot 4^x$;
$3^x \cdot 7^x \cdot 7^2 = 7^2 \cdot 4^x$;
$\frac{3^x \cdot 7^x}{4^x} = 1$;
$\left( \frac{21}{4} \right)^x = \left( \frac{21}{4} \right)^0$;
$x = 0$;
Ответ: 0.

б) $2^{x+1} \cdot 5^{x+3} = 250 \cdot 9^x$;
$2^x \cdot 2 \cdot 5^x \cdot 5^3 = 250 \cdot 9^x$;
$2^x \cdot 5^x \cdot 2 \cdot 125 = 250 \cdot 9^x$;
$\frac{2^x \cdot 5^x}{9^x} = 1$;
$\left( \frac{10}{9} \right)^x = \left( \frac{10}{9} \right)^0$;
$x = 0$;
Ответ: 0.

а) $3^x \cdot 7^{x+2} = 49 \cdot 4^x$

Шаг 1. Представим всё в виде степеней
Заметим, что $49 = 7^2$, а $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$, но оставим пока как $4^x$.

Шаг 2. Раскроем степень $7^{x+2}$
$7^{x+2} = 7^x \cdot 7^2$

Подставим в уравнение:

$$3^x \cdot 7^x \cdot 7^2 = 49 \cdot 4^x$$

Шаг 3. Заменим $49$ на $7^2$

$$3^x \cdot 7^x \cdot 7^2 = 7^2 \cdot 4^x$$

Шаг 4. Сократим обе части на $7^2$

$$3^x \cdot 7^x = 4^x$$

Шаг 5. Перенесем всё в одну степень

$$\frac{3^x \cdot 7^x}{4^x} = 1$$

Шаг 6. Объединим степень

$$\left( \frac{3 \cdot 7}{4} \right)^x = 1$$ $$\left( \frac{21}{4} \right)^x = \left( \frac{21}{4} \right)^0$$

Шаг 7. Приравниваем показатели

$$x = 0$$

Ответ: 0

б) $2^{x+1} \cdot 5^{x+3} = 250 \cdot 9^x$

Шаг 1. Представим известные числа как степени
$250 = 2 \cdot 125 = 2 \cdot 5^3$,
$9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$

Шаг 2. Раскроем степени слева

$$2^{x+1} = 2^x \cdot 2, \quad 5^{x+3} = 5^x \cdot 5^3$$

Подставим в уравнение:

$$2^x \cdot 2 \cdot 5^x \cdot 125 = 250 \cdot 9^x$$

Шаг 3. Преобразуем правую часть
$250 = 2 \cdot 125$

Тогда:

$$2^x \cdot 2 \cdot 5^x \cdot 125 = 2 \cdot 125 \cdot 9^x$$

Шаг 4. Сократим обе части на $2 \cdot 125$

$$2^x \cdot 5^x = 9^x$$

Шаг 5. Объединим степени

$$\left( \frac{2 \cdot 5}{9} \right)^x = 1$$ $$\left( \frac{10}{9} \right)^x = \left( \frac{10}{9} \right)^0$$

Шаг 6. Приравниваем показатели

$$x = 0$$

Ответ: 0

Итоговые ответы:

а) 0
б) 0