ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) ${\mathrm{}}^{}$$6^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x}$;
$6^{2x} \cdot 6^4 = 2^8 \cdot 2^x \cdot 3^{3x}$;
$2^{2x} \cdot 3^{2x} \cdot 2^4 \cdot 3^4 = 2^8 \cdot 2^x \cdot 3^{3x}$;
$2^x \cdot 3^4 = 2^4 \cdot 3^x$;
$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^4$;
$x = 4$;
Ответ: 4.

б) ${\mathrm{}}^{}$$35^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}$;
$35^{4x} \cdot 35^2 = 5^{3x} \cdot 5^4 \cdot 7^{5x}$;
$5^{4x} \cdot 7^{4x} \cdot 7^2 \cdot 5^2 = 5^{3x} \cdot 5^4 \cdot 7^{5x}$;
$\left(\frac{5}{7}\right)^x = \left(\frac{5}{7}\right)^2$;
$x = 2$;
Ответ: 2.

а) $6^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x}$

Шаг 1: Разложим основание 6 на простые множители.
Поскольку $6 = 2 \cdot 3$, то:

$$6^{2x+4} = (2 \cdot 3)^{2x+4} = 2^{2x+4} \cdot 3^{2x+4}$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть.

$$2^{8+x} \cdot 3^{3x} = 2^8 \cdot 2^x \cdot 3^{3x} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x}$$

Шаг 3: Приравниваем степени одинаковых оснований.

Левая часть:

$$2^{2x+4} \cdot 3^{2x+4}$$

Правая часть:

$$2^{8+x} \cdot 3^{3x}$$

Теперь сравниваем степени:

Для основания 2:

$$2x + 4 = 8 + x \Rightarrow 2x — x = 8 — 4 \Rightarrow x = 4$$

Для основания 3:
Проверка:

$$2x + 4 = 3x \Rightarrow \text{Подставим } x = 4: \Rightarrow 2 \cdot 4 + 4 = 8 + 4 = 12 \Rightarrow 3 \cdot 4 = 12 \quad \text{Совпадает!}$$

Ответ: $x = 4$

б) $35^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}$

Шаг 1: Разложим 35 на простые множители.

$$35 = 5 \cdot 7, \text{ значит } 35^{4x+2} = (5 \cdot 7)^{4x+2} = 5^{4x+2} \cdot 7^{4x+2}$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть:

$$5^{3x+4} \cdot 7^{5x}$$

Шаг 3: Приравниваем степени одинаковых оснований.

Для $5$:

$$4x + 2 = 3x + 4 \Rightarrow x = 2$$

Для $7$:
Левая часть: $4x + 2$
Правая часть: $5x$
Проверка:
Подставим $x = 2$:

$$4 \cdot 2 + 2 = 8 + 2 = 10 5 \cdot 2 = 10 \quad \text{Совпадает!}$$

Ответ: $x = 2$

Итоговые ответы:

а) $x = 4$
б) $x = 2$