ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $18^x — 8 \cdot 6^x — 9 \cdot 2^x = 0$;

б) $12^x — 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0$

а) $18^x — 8 \cdot 6^x — 9 \cdot 2^x = 0$;
$2^x \cdot (9^x — 8 \cdot 3^x — 9) = 0$;
$3^{2x} — 8 \cdot 3^x — 9 = 0$;

Пусть $y = 3^x$, тогда:
$y^2 — 8y — 9 = 0$;
$D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100$, тогда:
$y_1 = \frac{8 — 10}{2} = -1$ и $y_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9$;

Первое значение:
$3^x = -1$;
$x \in \varnothing$;

Второе значение:
$3^x = 9$;
$x = 2$;

Ответ: 2.

б) $12^x — 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0$;
$3^x \cdot (4^x — 6 \cdot 2^x + 8) = 0$;
$2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8 = 0$;

Пусть $y = 2^x$, тогда:
$y^2 — 6y + 8 = 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$, тогда:
$y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2$ и $y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$;

Первое значение:
$2^x = 2$;
$x = 1$;

Второе значение:
$2^x = 4$;
$x = 2$;

Ответ: 1; 2.

а) $18^x — 8 \cdot 6^x — 9 \cdot 2^x = 0$

Шаг 1: Представим все основания в виде простых множителей

• $18 = 2 \cdot 3^2 \Rightarrow 18^x = (2 \cdot 3^2)^x = 2^x \cdot 3^{2x}$
• $6 = 2 \cdot 3 \Rightarrow 6^x = 2^x \cdot 3^x$
• $9 = 3^2 \Rightarrow 9 \cdot 2^x = 9 \cdot 2^x$

Подставим в уравнение:

$$2^x \cdot 3^{2x} — 8 \cdot 2^x \cdot 3^x — 9 \cdot 2^x = 0$$

Шаг 2: Вынесем общий множитель $2^x$

$$2^x \cdot (3^{2x} — 8 \cdot 3^x — 9) = 0$$

Шаг 3: Поскольку $2^x > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$, можно разделить обе части на $2^x$

$$3^{2x} — 8 \cdot 3^x — 9 = 0$$

Шаг 4: Замена переменной

Пусть $y = 3^x$, тогда $3^{2x} = (3^x)^2 = y^2$. Подставим:

$$y^2 — 8y — 9 = 0$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$$ $$y_1 = \frac{8 — 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Шаг 6: Возврат к переменной $x$

• $3^x = -1$ — не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна.
• $3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2$

Ответ: $\boxed{2}$

б) $12^x — 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0$

Шаг 1: Представим все основания в виде простых множителей

• $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 \Rightarrow 12^x = 2^{2x} \cdot 3^x$
• $6 = 2 \cdot 3 \Rightarrow 6^{x+1} = (2 \cdot 3)^{x+1} = 2^{x+1} \cdot 3^{x+1} = 2 \cdot 3 \cdot 2^x \cdot 3^x = 6 \cdot 2^x \cdot 3^x$
• $8 \cdot 3^x$ оставим без изменений

Теперь запишем всё:

$$2^{2x} \cdot 3^x — 6 \cdot 2^x \cdot 3^x + 8 \cdot 3^x = 0$$

Шаг 2: Вынесем общий множитель $3^x$

$$3^x \cdot \left(2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8\right) = 0$$

Шаг 3: Показательная функция $3^x > 0$, делим обе части на $3^x$

$$2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8 = 0$$

Шаг 4: Замена переменной

Пусть $y = 2^x$, тогда $2^{2x} = (2^x)^2 = y^2$. Подставим:

$$y^2 — 6y + 8 = 0$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$ $$y_1 = \frac{6 — 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Шаг 6: Возврат к переменной $x$

• $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$
• $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$

Ответ: $\boxed{1;\ 2}$