ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $10^x = \sqrt[4]{1000}$;

б) $5^x = \frac{1}{\sqrt[3]{25}}$;

в) $0,3^x = \sqrt[4]{0,0081}$;

г) $\left(\frac{1}{5}\right)^x = 25\sqrt{5}$

Решить уравнение:
а) $10^x = \sqrt[4]{1000}$;
$10^x = \sqrt[4]{10^3}$;
$10^x = 10^{\frac{3}{4}}$;
$x = \frac{3}{4} = 0,75$;
Ответ: 0,75.

б) $5^x = \frac{1}{\sqrt[3]{25}}$;
$\left(\frac{1}{5}\right)^{-x} = \frac{1}{\sqrt[3]{5^2}}$;
$\left(\frac{1}{5}\right)^{-x} = \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{2}{3}}$;
$-x = \frac{2}{3}$;
$x = -\frac{2}{3}$;
Ответ: $-\frac{2}{3}$.

в) $0,3^x = \sqrt[4]{0,0081}$;
$0,3^x = \sqrt[4]{0,3^4}$;
$0,3^x = 0,3$;
$x = 1$;
Ответ: 1.

г) $\left(\frac{1}{5}\right)^x = 25\sqrt{5}$;
$5^{-x} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$;
$5^{-x} = 5^{2,5}$;
$-x = 2,5$;
$x = -2,5$;
Ответ: $-2,5$.

а) $10^x = \sqrt[4]{1000}$

Шаг 1: Представим правую часть как степень десяти.
Заметим, что $1000 = 10^3$, тогда:

$$\sqrt[4]{1000} = \sqrt[4]{10^3}$$

Шаг 2: Используем свойство корня:

$$\sqrt[4]{10^3} = 10^{\frac{3}{4}}$$

Шаг 3: Подставим это в уравнение:

$$10^x = 10^{\frac{3}{4}}$$

Шаг 4: Основания одинаковые, приравниваем показатели:

$$x = \frac{3}{4}$$

Шаг 5: Переведем дробь в десятичную форму:

$$\frac{3}{4} = 0{,}75$$

Ответ: 0,75

б) $5^x = \dfrac{1}{\sqrt[3]{25}}$

Шаг 1: Представим число 25 как степень пятёрки:

$$25 = 5^2 \Rightarrow \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2}$$

Шаг 2: Подставим в уравнение:

$$5^x = \dfrac{1}{\sqrt[3]{5^2}} = \dfrac{1}{5^{\frac{2}{3}}}$$

Шаг 3: Перепишем правую часть:

$$\dfrac{1}{5^{\frac{2}{3}}} = 5^{-\frac{2}{3}}$$

Шаг 4: Теперь у нас:

$$5^x = 5^{-\frac{2}{3}} \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$$

Ответ: $-\dfrac{2}{3}$

в) $0{,}3^x = \sqrt[4]{0{,}0081}$

Шаг 1: Представим 0,0081 как степень числа 0,3.
Проверим:

$$0{,}3^4 = (3 \cdot 10^{-1})^4 = 3^4 \cdot 10^{-4} = 81 \cdot 10^{-4} = 0{,}0081$$

Значит,

$$0{,}0081 = 0{,}3^4 \Rightarrow \sqrt[4]{0{,}0081} = \sqrt[4]{0{,}3^4}$$

Шаг 2: Используем свойство корня:

$$\sqrt[4]{0{,}3^4} = 0{,}3$$

Шаг 3: Подставим это в уравнение:

$$0{,}3^x = 0{,}3 \Rightarrow 0{,}3^x = 0{,}3^1 \Rightarrow x = 1$$

Ответ: 1

г) $\left(\dfrac{1}{5}\right)^x = 25\sqrt{5}$

Шаг 1: Перепишем правую часть через степень пятёрки.
$25 = 5^2$, $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$

$$25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{2 + \frac{1}{2}} = 5^{2{,}5}$$

Шаг 2: Левая часть:

$$\left(\dfrac{1}{5}\right)^x = 5^{-x}$$

Шаг 3: Подставим:

$$5^{-x} = 5^{2{,}5} \Rightarrow -x = 2{,}5 \Rightarrow x = -2{,}5$$

Ответ: $-2{,}5$