ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.34 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить систему уравнений:

а) $\begin{cases} 2^{x+y} = 16, \\ 3^y = 27^x \end{cases}$;

Второе уравнение:
$3^y = 27^x$;
$3^y = 3^{3x}$;
$y = 3x$;

Первое уравнение:
$2^{x+y} = 16$;
$2^{x+y} = 2^4$;
$x + y = 4$;
$x + 3x = 4$;
$4x = 4$;
$x = 1$;
$y = 3 \cdot 1 = 3$;

Ответ: $(1; 3)$.

б) $\begin{cases} 0{,}5^{3x} \cdot 0{,}5^y = 0{,}5, \\ 2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32 \end{cases}$;

Первое уравнение:
$0{,}5^{3x} \cdot 0{,}5^y = 0{,}5$;
$0{,}5^{3x+y} = 0{,}5$;
$3x + y = 1$;
$y = 1 — 3x$;

Второе уравнение:
$2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32$;
$2^{3x — y} = 2^5$;
$3x — y = 5$;
$3x — (1 — 3x) = 5$;
$6x = 6$;
$x = 1$;
$y = 1 — 3 \cdot 1 = -2$;

Ответ: $(1; -2)$.

в) $\begin{cases} 5^{2x-y} = 125, \\ 4^{x-y} = 4 \end{cases}$;

Второе уравнение:
$4^{x — y} = 4$;
$x — y = 1$;
$y = x — 1$;

Первое уравнение:
$5^{2x — y} = 125$;
$5^{2x — y} = 5^3$;
$2x — y = 3$;
$2x — (x — 1) = 3$;
$x = 2$;
$y = 2 — 1 = 1$;

Ответ: $(2; 1)$.

г) $\begin{cases} 0{,}6^{x+y} \cdot 0{,}6^x = 0{,}6, \\ 10^x \cdot 10^y = (0{,}01)^{-1} \end{cases}$;

Второе уравнение:
$10^x \cdot 10^y = (0{,}01)^{-1}$;
$10^{x+y} = 100$;
$10^{x+y} = 10^2$;
$x + y = 2$;
$y = 2 — x$;

Первое уравнение:
$0{,}6^{x+y} \cdot 0{,}6^x = 0{,}6$;
$0{,}6^{2x + y} = 0{,}6$;
$2x + y = 1$;
$2x + (2 — x) = 1$;
$x = -1$;
$y = 2 — (-1) = 3$;

Ответ: $(-1; 3)$.

а)

Решим систему:

$$\begin{cases} 2^{x + y} = 16 \\ 3^y = 27^x \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем второе уравнение

Запишем число 27 как степень тройки:

$$27 = 3^3 \Rightarrow 27^x = (3^3)^x = 3^{3x}$$

Подставим:

$$3^y = 3^{3x} \Rightarrow y = 3x$$

Шаг 2. Подставим в первое уравнение

Имеем:

$$2^{x + y} = 16$$

Подставим $y = 3x$:

$$2^{x + 3x} = 16 \Rightarrow 2^{4x} = 16$$

Представим 16 как степень двойки:

$$16 = 2^4 \Rightarrow 2^{4x} = 2^4 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1$$

Шаг 3. Найдём $y$

$$y = 3x = 3 \cdot 1 = 3$$

Ответ к а):

$$(1;\ 3)$$

б)

Решим систему:

$$\begin{cases} 0.5^{3x} \cdot 0.5^y = 0.5 \\ 2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32 \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем первое уравнение

$$0.5^{3x} \cdot 0.5^y = 0.5 \Rightarrow 0.5^{3x + y} = 0.5$$

Поскольку $0.5 = 2^{-1}$, можно переписать:

$$0.5^{3x + y} = 0.5^1 \Rightarrow 3x + y = 1 \Rightarrow y = 1 — 3x$$

Шаг 2. Подставим в второе уравнение

$$2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32 \Rightarrow 2^{3x — y} = 32$$

Подставим $y = 1 — 3x$:

$$2^{3x — (1 — 3x)} = 2^{3x — 1 + 3x} = 2^{6x — 1}$$

Теперь:

$$2^{6x — 1} = 32$$

Представим 32 как степень двойки:

$$32 = 2^5 \Rightarrow 6x — 1 = 5 \Rightarrow 6x = 6 \Rightarrow x = 1$$

Шаг 3. Найдём $y$

$$y=1-3x=1-3\cdot 1=-2$$

Ответ к б):

$$(1;\ -2)$$

в)

Решим систему:

$$\begin{cases} 5^{2x — y} = 125 \\ 4^{x — y} = 4 \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем второе уравнение

Представим 4 как степень:

$$4 = 4^1 \Rightarrow 4^{x — y} = 4^1 \Rightarrow x — y = 1 \Rightarrow y = x — 1$$

Шаг 2. Подставим в первое уравнение

Имеем:

$$5^{2x — y} = 125$$

Подставим $y = x — 1$:

$$5^{2x — (x — 1)} = 5^{x + 1}$$

Но также:

$$125 = 5^3$$

Значит:

$$5^{x + 1} = 5^3 \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$$

Шаг 3. Найдём $y$

$$y = x — 1 = 2 — 1 = 1$$

Ответ к в):

$$(2;\ 1)$$

г)

Решим систему:

$$\begin{cases} 0.6^{x + y} \cdot 0.6^x = 0.6 \\ 10^x \cdot 10^y = (0.01)^{-1} \end{cases}$$

Шаг 1. Упростим второе уравнение

Вспомним:

$$0.01 = 10^{-2} \Rightarrow (0.01)^{-1} = (10^{-2})^{-1} = 10^2$$

А $10^x \cdot 10^y = 10^{x + y}$

Тогда:

$$10^{x + y} = 10^2 \Rightarrow x + y = 2 \Rightarrow y = 2 — x$$

Шаг 2. Подставим во второе уравнение

Имеем:

$$0.6^{x + y} \cdot 0.6^x = 0.6 \Rightarrow 0.6^{x + y + x} = 0.6^{2x + y} = 0.6$$

Подставим $y = 2 — x$:

$$2x + (2 — x) = x + 2 \Rightarrow 0.6^{x + 2} = 0.6 \Rightarrow x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$$

Шаг 3. Найдём $y$

$$y = 2 — x = 2 — (-1) = 3$$

Ответ к г):

$$(-1;\ 3)$$

Окончательные ответы:

а) $(1;\ 3)$

б) $(1;\ -2)$

в) $(2;\ 1)$

г) $(-1;\ 3)$