ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.35 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить систему уравнений:

а)

$$\begin{cases} (\sqrt{3})^{x+2y} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{27}; \\ 0,1^x \cdot 10^{3y} = 10 \end{cases}$$

Первое уравнение:
$(\sqrt{3})^{x+2y} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{27};$
$(\sqrt{3})^{x+2y} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3^3};$
$(\sqrt{3})^{x+2y} = (\sqrt{3})^4;$
$x + 2y = 4;$
$x = 4 — 2y;$

Второе уравнение:
$0,1^x \cdot 10^{3y} = 10;$
$10^{-x} \cdot 10^{3y} = 10;$
$3y — x = 1;$
$3y — (4 — 2y) = 1;$
$5y = 5;$
$y = 1;$
$x = 4 — 2 \cdot 1 = 2;$

Ответ: $(2; 1)$

б)

$$\begin{cases} 27^y \cdot 3^x = 1 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot 4^y = 2 \end{cases}$$

Первое уравнение:
$27^y \cdot 3^x = 1;$
$3^{3y} \cdot 3^x = 3^0;$
$3y + x = 0;$
$x = -3y;$

Второе уравнение:
$\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot 4^y = 2;$
$2^{-x} \cdot 2^{2y} = 2;$
$-x + 2y = 1;$
$-(-3y) + 2y = 1;$
$3y + 2y = 1;$
$5y = 1;$
$y = 0,2;$
$x = -3 \cdot 0,2 = -0,6;$

Ответ: $(-0,6; 0,2)$

в)

$$\begin{cases} (\sqrt{5})^{2x+y} = \sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5}; \\ \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 5^y = 125 \end{cases}$$

Первое уравнение:
$(\sqrt{5})^{2x+y} = \sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5};$
$(\sqrt{5})^{2x+y} = (\sqrt{5})^0;$
$2x + y = 0;$
$y = -2x;$

Второе уравнение:
$\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 5^y = 125;$
$5^{-x} \cdot 5^y = 5^3;$
$-x + y = 3;$
$-x + (-2x) = 3;$
$-3x = 3;$
$x = -1;$
$y = -2 \cdot (-1) = 2;$

Ответ: $(-1; 2)$

г)

$$\begin{cases} 5^y \cdot 25^x = 625; \\ \left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot 9^y = \frac{1}{27} \end{cases}$$

Первое уравнение:
$5^y \cdot 25^x = 625;$
$5^y \cdot 5^{2x} = 5^4;$
$y + 2x = 4;$
$y = 4 — 2x;$

Второе уравнение:
$\left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot 9^y = \frac{1}{27};$
$3^{-x} \cdot 3^{2y} = 3^{-3};$
$-x + 2y = -3;$
$-x + 2(4 — 2x) = -3;$
$-x + 8 — 4x = -3;$
$-5x = -11;$
$x = 2,2;$
$y = 4 — 2 \cdot 2,2 = -0,4;$

Ответ: $(2,2; -0,4)$

а)

Решить систему:

$$\begin{cases} (\sqrt{3})^{x + 2y} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \\ 0{,}1^x \cdot 10^{3y} = 10 \end{cases}$$

Шаг 1. Упростим первое уравнение

Преобразуем правую часть:

$$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{3/2} = (\sqrt{3})^3$$

А $\sqrt{3} = (\sqrt{3})^1$

Значит:

$$\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = (\sqrt{3})^1 \cdot (\sqrt{3})^3 = (\sqrt{3})^{1+3} = (\sqrt{3})^4$$

Теперь уравнение:

$$(\sqrt{3})^{x + 2y} = (\sqrt{3})^4 \Rightarrow x + 2y = 4$$

Выразим:

$$x = 4 — 2y$$

Шаг 2. Упростим второе уравнение

Запишем $0{,}1^x = 10^{-x}$, тогда:

$$10^{-x} \cdot 10^{3y} = 10 \Rightarrow 10^{3y — x} = 10^1 \Rightarrow 3y — x = 1$$

Подставим $x = 4 — 2y$:

$$3y — (4 — 2y) = 1 \Rightarrow 3y — 4 + 2y = 1 \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow y = 1$$

Теперь:

$$x = 4 — 2y = 4 — 2 \cdot 1 = 2$$

Ответ к а):

$$(2;\ 1)$$

б)

$$\begin{cases} 27^y \cdot 3^x = 1 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot 4^y = 2 \end{cases}$$

Шаг 1. Первое уравнение

$27 = 3^3$, значит:

$$27^y = (3^3)^y = 3^{3y}$$

Тогда:

$$3^{3y} \cdot 3^x = 3^{3y + x} = 1 \Rightarrow 3^{3y + x} = 3^0 \Rightarrow 3y + x = 0 \Rightarrow x = -3y$$

Шаг 2. Второе уравнение

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x},\quad 4^y = (2^2)^y = 2^{2y}$$

Уравнение:

$$2^{-x} \cdot 2^{2y} = 2 \Rightarrow 2^{-x + 2y} = 2^1 \Rightarrow -x + 2y = 1$$

Подставим $x = -3y$:

$$-(-3y) + 2y = 1 \Rightarrow 3y + 2y = 1 \Rightarrow 5y = 1 \Rightarrow y = 0{,}2$$

Теперь:

$$x = -3 \cdot 0{,}2 = -0{,}6$$

Ответ к б):

$$(-0{,}6;\ 0{,}2)$$

в)

$$\begin{cases} (\sqrt{5})^{2x + y} = \sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5} \\ \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 5^y = 125 \end{cases}$$

Шаг 1. Первое уравнение

$$\sqrt{\frac{1}{5}} = \left( \frac{1}{5} \right)^{1/2} = 5^{-1/2}$$ $$\sqrt{5} = 5^{1/2}$$

Значит:

$$\sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5} = 5^{-1/2} \cdot 5^{1/2} = 5^0 = 1$$

Левая часть:

$$(\sqrt{5})^{2x + y} = 5^{(2x + y)/2} \Rightarrow 5^{(2x + y)/2} = 1 = 5^0$$

Тогда:

$$\frac{2x + y}{2} = 0 \Rightarrow 2x + y = 0 \Rightarrow y = -2x$$

Шаг 2. Второе уравнение

$$\left(\frac{1}{5}\right)^x = 5^{-x},\quad \text{значит:}$$ $$5^{-x} \cdot 5^y = 125 \Rightarrow 5^{-x + y} = 5^3 \Rightarrow -x + y = 3$$

Подставим $y = -2x$:

$$-x + (-2x) = 3 \Rightarrow -3x = 3 \Rightarrow x = -1 \Rightarrow y = -2 \cdot (-1) = 2$$

Ответ к в):

$$(-1;\ 2)$$

г)

$$\begin{cases} 5^y \cdot 25^x = 625 \\ \left( \frac{1}{3} \right)^x \cdot 9^y = \frac{1}{27} \end{cases}$$

Шаг 1. Первое уравнение

$$25 = 5^2,\quad 625 = 5^4$$

Уравнение:

$$5^y \cdot 5^{2x} = 5^{y + 2x} = 5^4 \Rightarrow y + 2x = 4 \Rightarrow y = 4 — 2x$$

Шаг 2. Второе уравнение

$$\left( \frac{1}{3} \right)^x = 3^{-x},\quad 9^y = (3^2)^y = 3^{2y}$$

Уравнение:

$$3^{-x} \cdot 3^{2y} = 3^{-x + 2y} = 3^{-3} \Rightarrow -x + 2y = -3$$

Подставим $y = 4 — 2x$:

$$-x+2(4-2x)=-3\Rightarrow -x+8-4x=-3\Rightarrow -5x+8=-3\Rightarrow$$

$$-x + 2(4 — 2x) = -3 \Rightarrow -x + 8 — 4x = -3 \Rightarrow -5x + 8 = -3 \Rightarrow -5x = -11 \Rightarrow x = 2{,}2$$

Теперь:

$$y = 4 — 2 \cdot 2{,}2 = 4 — 4{,}4 = -0{,}4$$

Ответ к г):

$$(2{,}2;\ -0{,}4)$$

Итоговые ответы:

а) $(2;\ 1)$

б) $(-0{,}6;\ 0{,}2)$

в) $(-1;\ 2)$

г) $(2{,}2;\ -0{,}4)$