ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.36 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить систему уравнений:

a)

$$\begin{cases} \sqrt{3^{x-1}} \cdot \sqrt{9^y} = 27; \\ 2^{2x+y} : 2^x = 64; \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$\sqrt{3^{x-1}}\cdot \sqrt{9^y}=27;$$

$${3}^{\frac{1}{2}(x-1)}\cdot 3^{2y}=3^3;$$

$${3}^{0.5x-0.5+y}=3^3;$$

$$0.5x-0.5+y=3;$$

$$\sqrt{3^{x-1}} \cdot \sqrt{9^y} = 27; \\ 3^{\frac{1}{2}(x-1)} \cdot 3^{2y} = 3^3; \\ 3^{0.5x — 0.5 + y} = 3^3; \\ 0.5x — 0.5 + y = 3; \\ y = 3.5 — 0.5x;$$

Второе уравнение:

$$2^{2x+y}:2^x=64;$$

$${2}^{2x+y-x}=2^6;$$

$$2x+y-x=6;$$

$$x+(3.5-0.5x)=6;$$

$$0.5x=2.5;$$

$$x=5;$$

$$2^{2x+y} : 2^x = 64; \\ 2^{2x+y — x} = 2^6; \\ 2x + y — x = 6; \\ x + (3.5 — 0.5x) = 6; \\ 0.5x = 2.5; \\ x = 5; \\ y = 3.5 — 0.5 \cdot 5 = 1;$$

Ответ: (5; 1).

б)

$$\begin{cases} \sqrt{6^{x-2y}} : \sqrt{6^x} = \frac{1}{6}; \\ \left(\frac{1}{3}\right)^{2x-y} \cdot 3^{x-2y} = \frac{1}{3}; \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$\sqrt{6^{x-2y}}:\sqrt{6^x}=\frac{1}{6};$$

$${6}^{\frac{1}{2}(x-2y)}\cdot 6^{-\frac{1}{2}x}=6^{-1};$$

$${6}^{0.5x-y-0.5x}=6^{-1};$$

$$0.5x-y-0.5x=-1;$$

$$\sqrt{6^{x-2y}} : \sqrt{6^x} = \frac{1}{6}; \\ 6^{\frac{1}{2}(x-2y)} \cdot 6^{-\frac{1}{2}x} = 6^{-1}; \\ 6^{0.5x — y — 0.5x} = 6^{-1}; \\ 0.5x — y — 0.5x = -1; \\ y = 1;$$

Второе уравнение:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x-y}\cdot 3^{x-2y}=\frac{1}{3};$$

$${3}^{-2x+y}\cdot 3^{x-2y}=3^{-1};$$

$$(-2x+y)+(x-2y)=-1;$$

$$-x-y=-1;$$

$$x+y=1;$$

$$x+1=1;$$

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-y} \cdot 3^{x-2y} = \frac{1}{3}; \\ 3^{-2x + y} \cdot 3^{x — 2y} = 3^{-1}; \\ (-2x + y) + (x — 2y) = -1; \\ -x — y = -1; \\ x + y = 1; \\ x + 1 = 1; \\ x = 0;$$

Ответ: (0; 1).

а)

Решить систему:

$$\begin{cases} \sqrt{3^{x-1}} \cdot \sqrt{9^y} = 27 \\ 2^{2x + y} : 2^x = 64 \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем первое уравнение

Уравнение:

$$\sqrt{3^{x — 1}} \cdot \sqrt{9^y} = 27$$

Преобразуем каждое корень:

• $\sqrt{3^{x — 1}} = \left(3^{x — 1}\right)^{1/2} = 3^{\frac{1}{2}(x — 1)}$
• $9^y = (3^2)^y = 3^{2y} \Rightarrow \sqrt{9^y} = \left(3^{2y}\right)^{1/2} = 3^y$

Теперь уравнение:

$$3^{\frac{1}{2}(x — 1)} \cdot 3^y = 27$$

Запишем $27 = 3^3$, тогда:

$$3^{\frac{1}{2}(x — 1) + y} = 3^3$$

Приравниваем показатели:

$$\frac{1}{2}(x — 1) + y = 3 \Rightarrow \frac{1}{2}x — \frac{1}{2} + y = 3 \Rightarrow \frac{1}{2}x + y = 3.5$$

Выразим $y$:

$$y = 3.5 — \frac{1}{2}x$$

Шаг 2. Преобразуем второе уравнение

Уравнение:

$$2^{2x + y} : 2^x = 64$$

Запишем деление как вычитание в степени:

$$\frac{2^{2x + y}}{2^x} = 2^{(2x + y) — x} = 2^{x + y}$$

Итак:

$$2^{x + y} = 64$$

Поскольку $64 = 2^6$, получаем:

$$x + y = 6$$

Шаг 3. Подставим выражение для $y$ во второе уравнение

Из первого уравнения: $y = 3.5 — 0.5x$

Подставим:

$$x + (3.5 — 0.5x) = 6 \Rightarrow 0.5x + 3.5 = 6 \Rightarrow 0.5x = 2.5 \Rightarrow x = 5$$

Теперь:

$$y = 3.5 — 0.5 \cdot 5 = 3.5 — 2.5 = 1$$

Ответ к а):

$$(5;\ 1)$$

б)

Решить систему:

$$\begin{cases} \sqrt{6^{x — 2y}} : \sqrt{6^x} = \frac{1}{6} \\ \left(\frac{1}{3}\right)^{2x — y} \cdot 3^{x — 2y} = \frac{1}{3} \end{cases}$$

Шаг 1. Упростим первое уравнение

Уравнение:

$$\frac{\sqrt{6^{x — 2y}}}{\sqrt{6^x}} = \frac{1}{6}$$

Перепишем через степени:

• $\sqrt{6^{x — 2y}} = 6^{\frac{1}{2}(x — 2y)}$
• $\sqrt{6^x} = 6^{\frac{1}{2}x}$

Тогда:

$$\frac{6^{\frac{1}{2}(x — 2y)}}{6^{\frac{1}{2}x}} = 6^{-1}$$

Запишем дробь как степень разности:

$$6^{\frac{1}{2}(x — 2y) — \frac{1}{2}x} = 6^{-1} \Rightarrow 6^{\left(0.5x — y — 0.5x\right)} = 6^{-1} \Rightarrow 6^{-y} = 6^{-1}$$

Сравниваем показатели:

$$-y = -1 \Rightarrow y = 1$$

Шаг 2. Подставим $y = 1$ во второе уравнение

Уравнение:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x — y} \cdot 3^{x — 2y} = \frac{1}{3}$$

Запишем $\left(\frac{1}{3}\right)^{a} = 3^{-a}$, тогда:

$$3^{- (2x — y)} \cdot 3^{x — 2y} = 3^{-1}$$

Подставим $y = 1$:

$$3^{-(2x — 1)} \cdot 3^{x — 2} = 3^{-1} \Rightarrow 3^{-2x + 1 + x — 2} = 3^{-1} \Rightarrow 3^{-x — 1} = 3^{-1}$$

Сравним показатели:

$$-x — 1 = -1 \Rightarrow x = 0$$

Ответ к б):

$$(0;\ 1)$$

Итоговые ответы:

а) $(5;\ 1)$

б) $(0;\ 1)$