ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.39 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти, при каких значениях параметра $a$ уравнение не имеет корней:

а) $48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}$;
$48 \cdot 4^x — a \cdot 4^{x+2} = a — 27$;
$4^x \cdot (48 — a \cdot 4^2) = a — 27$;
$4^x = \frac{a — 27}{48 — 16a}$;

Уравнение не имеет решений при:
$\frac{a — 27}{48 — 16a} \leq 0$;
$\frac{a — 27}{-16(a — 3)} \leq 0$;
$\frac{a — 27}{a — 3} \geq 0$;
$a < 3,\ a \geq 27$;

Если $a = 3$, тогда:
$4^x \cdot 0 = 3 — 27$;
$0 = -24$;
$x \in \varnothing$;

Ответ: $a \in (-\infty; 3] \cup [27; +\infty)$.

б) $9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0$;
$3^{2x} + 2a \cdot 3 \cdot 3^x + 9 = 0$;
$3^{2x} + 6a \cdot 3^x + 9 = 0$;
$D = (6a)^2 — 4 \cdot 9 = 36a^2 — 36 = 36(a^2 — 1)$, тогда:
$3^x_{\text{наиб}} = \frac{-6a + 6\sqrt{a^2 — 1}}{2} = 3\sqrt{a^2 — 1} — 3a$;

Уравнение не имеет решений при:
$36(a^2 — 1) < 0$;
$a^2 — 1 < 0$;
$(a + 1)(a — 1) < 0$;
$-1 < a < 1$;

Уравнение не имеет решений при:
$3\sqrt{a^2 — 1} — 3a < 0$;
$\sqrt{a^2 — 1} — a < 0$;
$\sqrt{a^2 — 1} < a$;
$a^2 — 1 < a^2$;
$a > 0$;

Ответ: $a \in (-1; +\infty)$.

а) $48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}$

Рассмотрим уравнение:

$$48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}$$

Шаг 1: Переносим всё в одну сторону.

Оставим в левой части только члены с $4^x$:

$$48 \cdot 4^x — a \cdot 4^{x+2} = a — 27$$

Шаг 2: Вынесем $4^x$ за скобки.

Заметим, что $4^{x+2} = 4^x \cdot 4^2 = 4^x \cdot 16$

$$4^x \cdot (48 — 16a) = a — 27$$

Шаг 3: Выразим $4^x$:

$$4^x = \frac{a — 27}{48 — 16a}$$

Теперь определим, при каких значениях параметра $a$ уравнение НЕ имеет корней.

Напомним: $4^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Следовательно:

$$\frac{a — 27}{48 — 16a} \leq 0 \quad \text{(правая часть должна быть } \leq 0 \text{ — тогда уравнение не имеет решений)}$$

Шаг 4: Преобразуем выражение.

Заметим:

$$48 — 16a = -16(a — 3)$$

Тогда:

$$\frac{a — 27}{48 — 16a} = \frac{a — 27}{-16(a — 3)}$$

Поделим числитель и знаменатель на -1 (знак дроби изменится):

$$= -\frac{a — 27}{16(a — 3)} = \frac{a — 27}{a — 3} \cdot (-1)$$

Условие:

$$\frac{a — 27}{48 — 16a} \leq 0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{a — 27}{a — 3} \geq 0$$

Шаг 5: Решаем неравенство $\frac{a — 27}{a — 3} \geq 0$

Найдём нули числителя и знаменателя:

• Числитель: $a — 27 = 0 \Rightarrow a = 27$
• Знаменатель: $a — 3 = 0 \Rightarrow a = 3$

Разметим числовую прямую с точками $a = 3$ и $a = 27$, и исследуем знаки на промежутках:

$a < 3$:

• Числитель: $a — 27 < 0$
• Знаменатель: $a — 3 < 0$
• Дробь: $\frac{-}{-} = +$ — удовлетворяет неравенству

$3 < a < 27$:

• Числитель: $< 0$, знаменатель: $> 0$
• Дробь: $—$ — не удовлетворяет

$a > 27$:

• $\frac{+}{+} = +$ — удовлетворяет

$a = 3$: знаменатель 0 → исключаем

$a = 27$: числитель 0 → $\frac{0}{\text{не 0}} = 0$ — подходит

Ответ для случая а):

$$a \in (-\infty; 3) \cup [27; +\infty)$$

Но нужно отдельно рассмотреть $a = 3$:

Шаг 6: Подстановка $a = 3$ в уравнение.

$$48 \cdot 4^x + 27 = 3 + 3 \cdot 4^{x+2}$$

Преобразуем правую часть:

$$3 + 3 \cdot 4^{x+2} = 3 + 3 \cdot 16 \cdot 4^x = 3 + 48 \cdot 4^x$$

Левая часть: $48 \cdot 4^x + 27$

$$48 \cdot 4^x + 27 = 3 + 48 \cdot 4^x \Rightarrow 27 = 3$$

Противоречие → нет корней

Значит, $a = 3$ также входит в ответ.

Итоговый ответ:

$$\boxed{a \in (-\infty; 3] \cup [27; +\infty)}$$

б) $9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0$

Шаг 1: Представим всё через $3^x$

Преобразуем:

• $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$
• $3^{x+1} = 3^x \cdot 3$

Подставим:

$$3^{2x} + 2a \cdot 3 \cdot 3^x + 9 = 0$$ $$3^{2x} + 6a \cdot 3^x + 9 = 0$$

Шаг 2: Введём замену:

Пусть $t = 3^x$, тогда $t > 0$

Получим квадратное уравнение:

$$t^2 + 6a t + 9 = 0$$

Шаг 3: Уравнение имеет решение при наличии положительных корней

Для существования вещественных корней:

$$D = (6a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36a^2 — 36 = 36(a^2 — 1)$$

Условие 1: дискриминант должен быть неотрицательным для вещественных корней:

$$D \geq 0 \Rightarrow a^2 — 1 \geq 0 \Rightarrow a \leq -1 \quad \text{или} \quad a \geq 1$$

Если $-1 < a < 1$, то уравнение не имеет вещественных корней
→ значит не имеет решений в действительных числах.

Условие 2: даже если вещественные корни есть, они могут быть не положительными.

Рассмотрим наибольший корень по формуле:

$$t = \frac{-6a + \sqrt{D}}{2} = \frac{-6a + 6\sqrt{a^2 — 1}}{2} = 3\sqrt{a^2 — 1} — 3a$$

Мы хотим, чтобы этот корень был отрицательным — тогда уравнение не имеет положительных корней $t > 0$, а значит не имеет решений (так как $t = 3^x > 0$).

Требуем:

$$3\sqrt{a^2 — 1} — 3a < 0 \Rightarrow \sqrt{a^2 — 1} — a < 0 \Rightarrow \sqrt{a^2 — 1} < a$$

Шаг 4: Исследуем неравенство $\sqrt{a^2 — 1} < a$

Это верно при $a > 0$
(Левая часть всегда положительна, правая — может быть отрицательной, тогда неравенство нарушается. Но при $a > 0$, всё корректно.)

Итак, условие отсутствия решений:

1. Нет вещественных корней: $a \in (-1; 1)$
2. Или корни вещественные, но отрицательные: $a > 0$ → уточнение: область пересечения этих двух условий —

   $$a \in (-1; 1) \cup (0; +\infty) = (-1; +\infty)$$

Итоговый ответ:

$$\boxed{a \in (-1; +\infty)}$$