ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $0,3^x = \frac{1000}{27}$;

б) $\left( \frac{4}{5} \right)^x = \frac{25}{16}$;

в) $0,7^x = \frac{1000}{343}$;

г) $\left( \frac{3}{2} \right)^x = \frac{16}{81}$

а) $0,3^x = \frac{1000}{27}$;
$\left( \frac{3}{10} \right)^x = \left( \frac{10}{3} \right)^3$;
$\left( \frac{3}{10} \right)^x = \left( \frac{3}{10} \right)^{-3}$;
$x = -3$;
Ответ: $-3$.

б) $\left( \frac{4}{5} \right)^x = \frac{25}{16}$;
$\left( \frac{5}{4} \right)^{-x} = \left( \frac{5}{4} \right)^2$;
$-x = 2$;
$x = -2$;
Ответ: $-2$.

в) $0,7^x = \frac{1000}{343}$;
$\left( \frac{7}{10} \right)^x = \left( \frac{10}{7} \right)^3$;
$\left( \frac{7}{10} \right)^x = \left( \frac{7}{10} \right)^{-3}$;
$x = -3$;
Ответ: $-3$.

г) $\left( \frac{3}{2} \right)^x = \frac{16}{81}$;
$\left( \frac{2}{3} \right)^{-x} = \left( \frac{2}{3} \right)^4$;
$-x = 4$;
$x = -4$;
Ответ: $-4$.

а) $0{,}3^x = \dfrac{1000}{27}$

Шаг 1: Представим десятичную дробь $0{,}3$ в виде обыкновенной:

$$0{,}3 = \dfrac{3}{10} \Rightarrow 0{,}3^x = \left( \dfrac{3}{10} \right)^x$$

Шаг 2: Представим правую часть как дробь в степени:

$$\dfrac{1000}{27} = \dfrac{10^3}{3^3} = \left( \dfrac{10}{3} \right)^3$$

Шаг 3: Используем свойство степеней:

$$\left( \dfrac{10}{3} \right)^3 = \left( \dfrac{3}{10} \right)^{-3}$$

Шаг 4: Подставим в уравнение:

$$\left( \dfrac{3}{10} \right)^x = \left( \dfrac{3}{10} \right)^{-3}$$

Шаг 5: Основания одинаковые, приравниваем показатели:

$$x = -3$$

Ответ: $-3$

б) $\left( \dfrac{4}{5} \right)^x = \dfrac{25}{16}$

Шаг 1: Представим правую часть как дробь в степени:

$$25 = 5^2,\quad 16 = 4^2 \Rightarrow \dfrac{25}{16} = \left( \dfrac{5}{4} \right)^2$$

Шаг 2: В левой части поменяем основание на обратное:

$$\left( \dfrac{4}{5} \right)^x = \left( \dfrac{5}{4} \right)^{-x}$$

Шаг 3: Теперь уравнение имеет вид:

$$\left( \dfrac{5}{4} \right)^{-x} = \left( \dfrac{5}{4} \right)^2$$

Шаг 4: Основания одинаковые, приравниваем показатели:

$$— x = 2 \Rightarrow x = -2$$

Ответ: $-2$

в) $0{,}7^x = \dfrac{1000}{343}$

Шаг 1: Переведём десятичную дробь в обыкновенную:

$$0{,}7 = \dfrac{7}{10} \Rightarrow 0{,}7^x = \left( \dfrac{7}{10} \right)^x$$

Шаг 2: Представим правую часть в виде степени дроби:

$$1000 = 10^3,\quad 343 = 7^3 \Rightarrow \dfrac{1000}{343} = \left( \dfrac{10}{7} \right)^3$$

Шаг 3: Используем свойство обратной дроби:

$$\left( \dfrac{10}{7} \right)^3 = \left( \dfrac{7}{10} \right)^{-3}$$

Шаг 4: Подставим в уравнение:

$$\left( \dfrac{7}{10} \right)^x = \left( \dfrac{7}{10} \right)^{-3}$$

Шаг 5: Основания одинаковые, приравниваем показатели:

$$x = -3$$

Ответ: $-3$

г) $\left( \dfrac{3}{2} \right)^x = \dfrac{16}{81}$

Шаг 1: Представим правую часть как дробь в степени:

$$16 = 2^4,\quad 81 = 3^4 \Rightarrow \dfrac{16}{81} = \left( \dfrac{2}{3} \right)^4$$

Шаг 2: Перепишем левую часть с обратной дробью:

$$\left( \dfrac{3}{2} \right)^x = \left( \dfrac{2}{3} \right)^{-x}$$

Шаг 3: Подставим:

$$\left( \dfrac{2}{3} \right)^{-x} = \left( \dfrac{2}{3} \right)^4$$

Шаг 4: Основания одинаковые, приравниваем показатели:

$$— x = 4 \Rightarrow x = -4$$

Ответ: $-4$