ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.43 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство:

а) $7^{2x-9} > 7^{3x-6}$;
$2x — 9 > 3x — 6$;
$x < -3$;
Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

б) $0,5^{4x+3} \geq 0,5^{6x-1}$;
$4x + 3 \leq 6x — 1$;
$2x \geq 4$;
$x \geq 2$;
Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

в) $9^{x-1} \leq 9^{-2x+8}$;
$x — 1 \leq -2x + 8$;
$3x \leq 9$;
$x \leq 3$;
Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

г) $\left( \frac{7}{11} \right)^{-3x-0,5} < \left( \frac{7}{11} \right)^{x+1,5}$;
$-3x — 0,5 > x + 1,5$;
$-4x > 2$;
$x < -0,5$;
Ответ: $x \in (-\infty; -0,5)$.

а) $7^{2x — 9} > 7^{3x — 6}$

Шаг 1: Основания одинаковые
Обе части имеют основание $7 > 1$, функция $f(x) = 7^x$ — возрастающая.

Значит, можно перейти от показательного неравенства к сравнению показателей:

$$2x — 9 > 3x — 6$$

Шаг 2: Решим линейное неравенство

$$2x — 9 > 3x — 6 \Rightarrow -9 + 6 > 3x — 2x \Rightarrow -3 > x \Rightarrow x < -3$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; -3)}$$

б) $0{,}5^{4x + 3} \geq 0{,}5^{6x — 1}$

Шаг 1: Основание 0,5
Основание $0{,}5 \in (0;1)$ — функция $f(x) = 0{,}5^x$ — убывающая.

Значит, знак неравенства меняется на противоположный при переходе к показателям:

$$4x + 3 \leq 6x — 1$$

Шаг 2: Решим линейное неравенство

$$4x + 3 \leq 6x — 1 \Rightarrow 3 + 1 \leq 6x — 4x \Rightarrow 4 \leq 2x \Rightarrow x \geq 2$$

Ответ:

$$\boxed{x \in [2; +\infty)}$$

в) $9^{x — 1} \leq 9^{-2x + 8}$

Шаг 1: Основание 9
Основание $9 > 1$ — функция $f(x) = 9^x$ — возрастающая.

Переходим к показателям:

$$x — 1 \leq -2x + 8$$

Шаг 2: Решим линейное неравенство

$$x + 2x \leq 8 + 1 \Rightarrow 3x \leq 9 \Rightarrow x \leq 3$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; 3]}$$

г) $\left( \frac{7}{11} \right)^{-3x — 0{,}5} < \left( \frac{7}{11} \right)^{x + 1{,}5}$

Шаг 1: Основание $\frac{7}{11} \in (0; 1)$
Функция $f(x) = \left( \frac{7}{11} \right)^x$ — убывающая.

При переходе к показателям знак меняется:

$$-3x — 0{,}5 > x + 1{,}5$$

Шаг 2: Решим линейное неравенство

$$-3x — x > 1{,}5 + 0{,}5 \Rightarrow -4x > 2 \Rightarrow x < -\frac{1}{2} = -0{,}5$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x\in (-\mathrm{\infty };-\mathrm{0,5})}}$$