ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.47 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $7^{x^2 — 5x} < \left(\frac{1}{7}\right)^6$;

б) $0,6^{x^2 — x} \geq \left(\frac{3}{5}\right)^6$;

в) $11^{2x^2 + 3x} \leq 121$;

г) $0,3^{x^2 — 10x} > \left(3\frac{1}{3}\right)^{24}$

Решить неравенство:

а) $7^{x^2 — 5x} < \left(\frac{1}{7}\right)^6$;
$7^{x^2 — 5x} < 7^{-6}$;
$x^2 — 5x < -6$;
$x^2 — 5x + 6 < 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:
$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;
$(x — 2)(x — 3) < 0$;
$2 < x < 3$;
Ответ: $x \in (2; 3)$.

б) $0,6^{x^2 — x} \geq \left(\frac{3}{5}\right)^6$;
$0,6^{x^2 — x} \geq 0,6^6$;
$x^2 — x \leq 6$;
$x^2 — x — 6 \leq 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 3$;
$(x + 2)(x — 3) \leq 0$;
$-2 \leq x \leq 3$;
Ответ: $x \in [-2; 3]$.

в) $11^{2x^2 + 3x} \leq 121$;
$11^{2x^2 + 3x} \leq 11^2$;
$2x^2 + 3x \leq 2$;
$2x^2 + 3x — 2 \leq 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2$;
$x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5$;
$(x + 2)(x — 0,5) \leq 0$;
$-2 \leq x \leq 0,5$;
Ответ: $x \in [-2; 0,5]$.

г) $0,3^{x^2 — 10x} > \left(3\frac{1}{3}\right)^{24}$;
$0,3^{x^2 — 10x} > \left(\frac{10}{3}\right)^{24}$;
$0,3^{x^2 — 10x} > 0,3^{-24}$;
$x^2 — 10x < -24$;
$x^2 — 10x + 24 < 0$;
$D = 10^2 — 4 \cdot 24 = 100 — 96 = 4$, тогда:
$x_1 = \frac{10 — 2}{2} = 4$ и $x_2 = \frac{10 + 2}{2} = 6$;
$(x — 4)(x — 6) < 0$;
$4 < x < 6$;
Ответ: $x \in (4; 6)$.

а) $7^{x^2 — 5x} < \left(\frac{1}{7}\right)^6$

Преобразуем правую часть:
$\left(\frac{1}{7}\right)^6 = 7^{-6}$

Получаем:
$7^{x^2 — 5x} < 7^{-6}$

Так как основание $7 > 1$, показательная функция $f(x) = 7^x$ является возрастающей.
Значит, из неравенства $7^{a} < 7^{b}$ следует:
$a < b$

Получаем:
$x^2 — 5x < -6$

Перенесём все в левую часть:
$x^2 — 5x + 6 < 0$

Решим квадратное неравенство.
Сначала найдём дискриминант:

$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$

Найдём корни:

$x_1 = \frac{5 — \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Так как коэффициент при $x^2$ положительный (ветви параболы вверх), знак «меньше нуля» соответствует промежутку между корнями:

$(x — 2)(x — 3) < 0 \Rightarrow x \in (2; 3)$

Ответ: $x \in (2; 3)$

б) $0{,}6^{x^2 — x} \geq \left(\frac{3}{5}\right)^6$

Заметим, что $\frac{3}{5} = 0{,}6$, следовательно:

$0{,}6^{x^2 — x} \geq 0{,}6^6$

Основание $0{,}6 \in (0; 1)$, а значит функция убывающая.
Из неравенства $0{,}6^a \geq 0{,}6^b$ следует:
$a \leq b$

Получаем:
$x^2 — x \leq 6$

Переносим всё в одну сторону:
$x^2 — x — 6 \leq 0$

Решим квадратное неравенство.
Дискриминант:

$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Корни:

$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2} = \frac{1 — 5}{2} = -2$
$x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$

Так как старший коэффициент положительный, выражение меньше либо равно нуля на отрезке между корнями:

$(x + 2)(x — 3) \leq 0 \Rightarrow x \in [-2; 3]$

Ответ: $x \in [-2; 3]$

в) $11^{2x^2 + 3x} \leq 121$

Представим правую часть как степень числа 11:
$121 = 11^2$

Получаем:
$11^{2x^2 + 3x} \leq 11^2$

Основание $11 > 1$, функция возрастает.
Значит:
$2x^2 + 3x \leq 2$

Переносим всё в левую часть:
$2x^2 + 3x — 2 \leq 0$

Решим квадратное неравенство.
Дискриминант:

$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Корни:

$x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$
$x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0{,}5$

Так как ветви вверх, неравенство выполняется между корнями:

$(x + 2)(x — 0{,}5) \leq 0 \Rightarrow x \in [-2; 0{,}5]$

Ответ: $x \in [-2; 0{,}5]$

г) $0{,}3^{x^2 — 10x} > \left(3\frac{1}{3}\right)^{24}$

Представим правую часть в виде степени 0{,}3.

$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$, а это:

$\left(\frac{10}{3}\right)^{24} = \left(0{,}3\right)^{-24}$

Тогда неравенство становится:

$0{,}3^{x^2 — 10x} > 0{,}3^{-24}$

Основание $0{,}3 \in (0; 1)$, функция убывает.
Из неравенства $0{,}3^a > 0{,}3^b$ следует:
$a < b$

Получаем:
$x^2 — 10x < -24$

Переносим всё в левую часть:
$x^2 — 10x + 24 < 0$

Решим квадратное неравенство.
Дискриминант:

$D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 — 96 = 4$

Корни:

$x_1 = \frac{10 — \sqrt{4}}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Так как ветви вверх, неравенство выполняется между корнями:

$(x — 4)(x — 6) < 0 \Rightarrow x \in (4; 6)$

Ответ: $x \in (4; 6)$