ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.51 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство:

а) $2^{2x+1} — 5 \cdot 2^x + 2 \geq 0$;
Пусть $y = 2^x$, тогда:
$2y^2 — 5y + 2 \geq 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$;
$y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$;
$(y — \frac{1}{2})(y — 2) \geq 0$;
$y \leq \frac{1}{2}$ или $y \geq 2$;
Первое значение:
$2^x \leq \frac{1}{2}$;
$2^x \leq 2^{-1}$;
$x \leq -1$;
Второе значение:
$2^x \geq 2$;
$x \geq 1$;
Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

б) $3^{2x+1} — 10 \cdot 3^x + 3 < 0$;
Пусть $y = 3^x$, тогда:
$3y^2 — 10y + 3 < 0$;
$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64$, тогда:
$y_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$;
$y_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$;
$(y — \frac{1}{3})(y — 3) < 0$;
$\frac{1}{3} < y < 3$;
Первое значение:
$3^x > \frac{1}{3}$;
$3^x > 3^{-1}$;
$x > -1$;
Второе значение:
$3^x < 3$;
$x < 1$;
Ответ: $x \in (-1; 1)$.

в) $\left(\frac{1}{4}\right)^{2x-1} + 15 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x — 4 < 0$;
Пусть $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$, тогда:
$4y^2 + 15y — 4 < 0$;
$D = 15^2 + 4 \cdot 4 \cdot 4 = 225 + 64 = 289$, тогда:
$y_1 = \frac{-15 — 17}{2 \cdot 4} = \frac{-32}{8} = -4$;
$y_2 = \frac{-15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$;
$(y + 4)(y — \frac{1}{4}) < 0$;
$-4 < y < \frac{1}{4}$;
Первое значение:
$\left(\frac{1}{4}\right)^x > -4$;
$x \in R$;
Второе значение:
$\left(\frac{1}{4}\right)^x < \frac{1}{4}$;
$x > 1$;
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

г) $(0,5)^{2x-1} + 3 \cdot (0,5)^x — 2 \geq 0$;
Пусть $y = 0,5^x$, тогда:
$2y^2 + 3y — 2 \geq 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$, тогда:
$y_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$;
$y_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5$;
$(y + 2)(y — 0,5) \geq 0$;
$y \leq -2$ или $y \geq 0,5$;
Первое значение:
$0,5^x \leq -2$;
$x \in \emptyset$;
Второе значение:
$0,5^x \geq 0,5$;
$x \leq 1$;
Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

а) $2^{2x+1} — 5 \cdot 2^x + 2 \geq 0$

Шаг 1. Преобразуем выражение:

$$2^{2x+1} = 2 \cdot (2^x)^2$$

Шаг 2. Сделаем замену:
Пусть $y = 2^x$, тогда $2^{2x+1} = 2y^2$

Шаг 3. Подставим:

$$2y^2 — 5y + 2 \geq 0$$

Шаг 4. Найдём дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$$

Шаг 5. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{5 — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$$

Шаг 6. Решаем неравенство:

$$( y — \tfrac{1}{2})(y — 2) \geq 0 \Rightarrow y \leq \tfrac{1}{2} \quad \text{или} \quad y \geq 2$$

Шаг 7. Вернёмся к $x$, помним: $y = 2^x$

• $2^x \leq \frac{1}{2} \Rightarrow x \leq -1$
• $2^x \geq 2 \Rightarrow x \geq 1$

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$

б) $3^{2x+1} — 10 \cdot 3^x + 3 < 0$

Шаг 1. Представим как квадратное по $3^x$:

$$3^{2x+1} = 3 \cdot (3^x)^2$$

Шаг 2. Замена: $y = 3^x$, тогда:

$$3y^2 — 10y + 3 < 0$$

Шаг 3. Дискриминант:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64$$

Шаг 4. Корни:

$$y_1 = \frac{10 — 8}{6} = \frac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{10 + 8}{6} = 3$$

Шаг 5. Решаем неравенство:

$$(y — \tfrac{1}{3})(y — 3) < 0 \Rightarrow \tfrac{1}{3} < y < 3$$

Шаг 6. Вернёмся к $x$: $3^x \in \left(\tfrac{1}{3}; 3\right)$

• $3^x > \tfrac{1}{3} \Rightarrow x > -1$
• $3^x < 3 \Rightarrow x < 1$

Ответ: $x \in (-1; 1)$

в) $\left(\frac{1}{4}\right)^{2x-1} + 15 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x — 4 < 0$

Шаг 1. Замена: $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$, тогда:

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2x-1} = \left(\left(\frac{1}{4}\right)^x\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = y^2 \cdot 4 = 4y^2$$

Шаг 2. Подставим:

$$4y^2 + 15y — 4 < 0$$

Шаг 3. Дискриминант:

$$D = 15^2 + 4 \cdot 4 \cdot 4 = 225 + 64 = 289$$

Шаг 4. Корни:

$$y_1 = \frac{-15 — \sqrt{289}}{8} = \frac{-32}{8} = -4, \quad y_2 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Шаг 5. Неравенство:

$$(y + 4)(y — \tfrac{1}{4}) < 0 \Rightarrow -4 < y < \tfrac{1}{4}$$

Шаг 6. Так как $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x > 0$, то остаётся:

$$\left(\frac{1}{4}\right)^x < \frac{1}{4} \Rightarrow x > 1$$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$

г) $(0,5)^{2x-1} + 3 \cdot (0,5)^x — 2 \geq 0$

Шаг 1. Замена: $y = 0{,}5^x$

• $(0,5)^{2x-1} = \left(0,5^x\right)^2 \cdot (0,5)^{-1} = y^2 \cdot 2 = 2y^2$

Шаг 2. Подставим:

$$2y^2 + 3y — 2 \geq 0$$

Шаг 3. Дискриминант:

$$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$$

Шаг 4. Корни:

$$y_1 = \frac{-3 — 5}{4} = -2, \quad y_2 = \frac{-3 + 5}{4} = 0{,}5$$

Шаг 5. Неравенство:

$$(y + 2)(y — 0{,}5) \geq 0 \Rightarrow y \leq -2 \quad \text{или} \quad y \geq 0{,}5$$

Шаг 6. $y = 0{,}5^x > 0 \Rightarrow y \leq -2$ — не подходит
Остаётся:

$$0{,}5^x \geq 0{,}5 \Rightarrow x \leq 1$$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };1]$