ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.57 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства:

а) $\frac{\mathrm{}}{}$$\frac{1}{64} < 8^{-2x+3} < 512$;

б) $$$\frac{1}{27} \leq \left(\frac{1}{9}\right)^{7-x} \leq 243$

Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства:

а) $\frac{\mathrm{}}{}$$\frac{1}{64} < 8^{-2x+3} < 512$;
$8^{-2} < 8^{-2x+3} < 8^3$;
$-2 < -2x + 3 < 3$;
$-5 < -2x < 0$;
$0 < 2x < 5$;
$0 < x < 2,5$;

Целые решения:
$x = 1, 2$;
Ответ: 2.

б) $$$\frac{1}{27} \leq \left(\frac{1}{9}\right)^{7-x} \leq 243$;
$3^{-3} \leq 3^{-2(7-x)} \leq 3^5$;
$-3 \leq -2(7 — x) \leq 5$;
$-3 \leq 2x — 14 \leq 5$;
$11 \leq 2x \leq 19$;
$5,5 \leq x \leq 9,5$;

Целые решения:
$x = 6, 7, 8, 9$;
Ответ: 4.

а)

Дано:

$$\frac{1}{64} < 8^{-2x+3} < 512$$

Шаг 1: Представим все числа с основанием $8$:

$$\frac{1}{64} = 8^{-2}, \quad 512 = 8^3$$

Подставим:

$$8^{-2} < 8^{-2x + 3} < 8^3$$

Так как функция $8^a$ возрастает, знак сохраняется:

$$-2 < -2x + 3 < 3$$

Шаг 2: Решаем двойное неравенство:

$$-2 < -2x + 3 \quad \text{и} \quad -2x + 3 < 3$$

Левая часть:

$$-2 < -2x + 3 \Rightarrow -5 < -2x \Rightarrow 2x < 5 \Rightarrow x < 2.5$$

Правая часть:

$$-2x + 3 < 3 \Rightarrow -2x < 0 \Rightarrow x > 0$$

Общий результат:

$$0 < x < 2.5$$

Натуральные числа в этом интервале:

$$x = 1,\ 2$$

Ответ: 2 натуральных числа

б)

Дано:

$$\frac{1}{27} \leq \left(\frac{1}{9}\right)^{7-x} \leq 243$$

Шаг 1: Представим всё через степень тройки:

$$\frac{1}{27} = 3^{-3}, \quad \frac{1}{9} = 3^{-2}, \quad 243 = 3^5$$

Тогда:

$$3^{-3} \leq 3^{-2(7 — x)} \leq 3^5$$

Так как функция $3^a$ монотонно возрастает, знак сохраняется:

$$-3 \leq -2(7 — x) \leq 5$$

Шаг 2: Раскроем скобки:

$$-3 \leq -14 + 2x \leq 5$$

Добавим 14 ко всем частям:

$$11 \leq 2x \leq 19$$

Разделим на 2:

$$5.5 \leq x \leq 9.5$$

Натуральные числа в этом интервале:

$$x = 6,\ 7,\ 8,\ 9$$

Ответ: 4 натуральных числа

Итоги:

а) $x \in (0; 2.5)$ → Ответ: 2

б) $x \in [5.5; 9.5]$ → Ответ: 4