ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.63 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить систему неравенств:

а)

$$\begin{cases} 2^{x+1} > 4 \\ 7^{3x-10} < 49 \end{cases}$$

Первое неравенство:
$2^{x+1} > 4;$
$2^{x+1} > 2^2;$
$x + 1 > 2;$
$x > 1;$

Второе неравенство:
$7^{3x-10} < 49;$
$7^{3x-10} < 7^2;$
$3x — 10 < 2;$
$3x < 12;$
$x < 4;$

Ответ: $x \in (1; 4)$.

б)

$$\begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^{4x+2{,}5} > \sqrt{2}, \\ 10^{x^2-1} > 1000 \end{cases}$$

Первое неравенство:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{4x+2{,}5} > \sqrt{2};$
$2^{-4x-2{,}5} > 2^{0{,}5};$
$-4x — 2{,}5 > 0{,}5;$
$-4x > 3;$
$x < -0{,}75;$

Второе неравенство:
$10^{x^2-1} > 1000;$
$10^{x^2-1} > 10^3;$
$x^2 — 1 > 3;$
$x^2 — 4 > 0;$
$(x + 2)(x — 2) > 0;$
$x < -2$ или $x > 2;$

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

в)

$$\begin{cases} 0{,}4^{-x+3} < 0{,}16, \\ 0{,}1^{x^2+1} > 0{,}01 \end{cases}$$

Первое неравенство:
$0{,}4^{-x+3} < 0{,}16;$
$0{,}4^{-x+3} < 0{,}4^2;$
$-x + 3 > 2;$
$x < 1;$

Второе неравенство:
$0{,}1^{x^2+1} > 0{,}01;$
$0{,}1^{x^2+1} > 0{,}1^2;$
$x^2 + 1 < 2;$
$x^2 — 1 < 0;$
$(x + 1)(x — 1) < 0;$
$-1 < x < 1;$

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

г)

$$\begin{cases} \sqrt{5} \cdot 5^{2x-0{,}5} \geq 1, \\ 0{,}2^{6-9x} \leq 125 \end{cases}$$

Первое неравенство:
$\sqrt{5} \cdot 5^{2x-0{,}5} \geq 1;$
$5^{0{,}5} \cdot 5^{2x-0{,}5} \geq 5^0;$
$5^{2x} \geq 5^0;$
$2x \geq 0;$
$x \geq 0;$

Второе неравенство:
$0{,}2^{6-9x} \leq 125;$
$5^{-1}{}^{6-9x} \leq 5^3;$
$5^{-6+9x} \leq 5^3;$
$-6 + 9x \leq 3;$
$9x \leq 9;$
$x \leq 1;$

Ответ: $x \in [0; 1]$.

а)

Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} 2^{x+1} > 4 \\ 7^{3x — 10} < 49 \end{cases}$$

1. Решаем первое неравенство:

$$2^{x+1} > 4$$

Число $4$ можно представить как $2^2$, тогда:

$$2^{x+1} > 2^2$$

Показательная функция $2^a$ возрастает, поэтому сравнение степеней возможно без изменения знака:

$$x + 1 > 2 \Rightarrow x > 1$$

2. Решаем второе неравенство:

$$7^{3x — 10} < 49$$

Число $49 = 7^2$, подставим:

$$7^{3x — 10} < 7^2$$

Основание $7 > 1$, функция возрастает, сравниваем показатели:

$$3x — 10 < 2 \Rightarrow 3x < 12 \Rightarrow x < 4$$

3. Пересекаем промежутки:

• Из первого неравенства: $x > 1$
• Из второго неравенства: $x < 4$

Ответ:

$$x \in (1; 4)$$

б)

Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^{4x + 2{,}5} > \sqrt{2} \\ 10^{x^2 — 1} > 1000 \end{cases}$$

1. Решаем первое неравенство:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{4x + 2{,}5} > \sqrt{2}$$

Запишем через основание 2:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{4x + 2{,}5} = 2^{-(4x + 2{,}5)} = 2^{-4x — 2{,}5}$$

Также:

$$\sqrt{2} = 2^{0{,}5}$$

Подставим:

$$2^{-4x — 2{,}5} > 2^{0{,}5}$$

Функция $2^a$ возрастающая, но знак неравенства меняется, т.к. степень отрицательная:

$$-4x — 2{,}5 > 0{,}5 \Rightarrow -4x > 3 \Rightarrow x < -0{,}75$$

2. Решаем второе неравенство:

$$10^{x^2 — 1} > 1000 \Rightarrow 10^{x^2 — 1} > 10^3$$

Сравниваем показатели (функция возрастающая):

$$x^2 — 1 > 3 \Rightarrow x^2 > 4 \Rightarrow x < -2 \quad \text{или} \quad x > 2$$

3. Пересекаем промежутки:

• Из первого: $x < -0{,}75$
• Из второго: $x < -2$ или $x > 2$

Пересекаем:

$$x < -0{,}75\ \cap\ (x < -2 \text{ или } x > 2) = x < -2$$

Ответ:

$$x \in (-\infty; -2)$$

в)

Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} 0{,}4^{-x + 3} < 0{,}16 \\ 0{,}1^{x^2 + 1} > 0{,}01 \end{cases}$$

1. Решаем первое неравенство:

Заметим: $0{,}4 = \frac{2}{5}$, но проще сравнить напрямую.

$0{,}16 = 0{,}4^2$, следовательно:

$$0{,}4^{-x + 3} < 0{,}4^2$$

Основание $0{,}4 < 1$, функция убывающая, меняем знак при сравнении степеней:

$$— x + 3 > 2 \Rightarrow -x > -1 \Rightarrow x < 1$$

2. Решаем второе неравенство:

$$0{,}1^{x^2 + 1} > 0{,}01 = 0{,}1^2$$

Основание $0{,}1 < 1$, функция убывает ⇒ сравнение показателей с обратным знаком:

$$x^2 + 1 < 2 \Rightarrow x^2 < 1 \Rightarrow -1 < x < 1$$

3. Пересекаем промежутки:

• Из первого: $x < 1$
• Из второго: $x \in (-1; 1)$

Пересечение:

$$x \in (-1; 1)$$

Ответ:

$$x \in (-1; 1)$$

г)

Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} \sqrt{5} \cdot 5^{2x — 0{,}5} \geq 1 \\ 0{,}2^{6 — 9x} \leq 125 \end{cases}$$

1. Решаем первое неравенство:

$$\sqrt{5} = 5^{0{,}5}, \quad \text{тогда:}$$ $$5^{0{,}5} \cdot 5^{2x — 0{,}5} \geq 1 \Rightarrow 5^{0{,}5 + 2x — 0{,}5} = 5^{2x} \geq 5^0 \Rightarrow 2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0$$

2. Решаем второе неравенство:

$$0{,}2 = \frac{1}{5} = 5^{-1} \Rightarrow 0{,}2^{6 — 9x} = (5^{-1})^{6 — 9x} = 5^{-6 + 9x}$$ $$125 = 5^3 \Rightarrow 5^{-6 + 9x} \leq 5^3 \Rightarrow -6 + 9x \leq 3 \Rightarrow 9x \leq 9 \Rightarrow x \leq 1$$

3. Пересекаем промежутки:

• Из первого: $x \geq 0$
• Из второго: $x \leq 1$

Ответ:

$$x \in [0; 1]$$

Итоги:

а) $x \in (1; 4)$
б) $x \in (-\infty; -2)$
в) $x \in (-1; 1)$
г) $x \in [0; 1]$