ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.65 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)$$$(2^x — 8)(3^x — 81) < 0$;

б)$$$\left(3^{x+2} — \frac{1}{27}\right)(5^{3 — 2x} — 0{,}2) \geq 0$

Решить неравенство:

а)$$$(2^x — 8)(3^x — 81) < 0$;
$(2^x — 2^3)(3^x — 3^4) < 0$;
$(x — 3)(x — 4) < 0$;
$3 < x < 4$;
Ответ: $x \in (3; 4)$.

б)$$$\left(3^{x+2} — \frac{1}{27}\right)(5^{3 — 2x} — 0{,}2) \geq 0$;
$(3^{x+2} — 3^{-3})(5^{3 — 2x} — 5^{-1}) \geq 0$;
$((x + 2) — (-3))((3 — 2x) — (-1)) \geq 0$;
$(x + 5)(4 — 2x) \geq 0$;
$(x + 5)(x — 2) \leq 0$;
$-5 \leq x \leq 2$;
Ответ: $x \in [-5; 2]$.

а)

Решить неравенство:

$$(2^x — 8)(3^x — 81) < 0$$

Шаг 1. Представим числа 8 и 81 как степени соответствующих оснований:

$$8 = 2^3,\quad 81 = 3^4$$

Подставим в неравенство:

$$(2^x — 2^3)(3^x — 3^4) < 0$$

Шаг 2. Заметим, что:

• $2^x — 2^3 = 0 \Rightarrow x = 3$
• $3^x — 3^4 = 0 \Rightarrow x = 4$

Таким образом, критические точки: $x = 3$ и $x = 4$

Разобьём числовую прямую на интервалы:

1. $x < 3$
2. $3 < x < 4$
3. $x > 4$

Шаг 3. Анализ знаков на каждом интервале:

• При $x < 3$:
  $2^x < 8$ ⇒ $2^x — 8 < 0$
  $3^x < 81$ ⇒ $3^x — 81 < 0$
  Произведение: $(-)(-) = +$
• При $3 < x < 4$:
  $2^x > 8$ ⇒ $2^x — 8 > 0$
  $3^x < 81$ ⇒ $3^x — 81 < 0$
  Произведение: $+ \cdot — = —$
• При $x > 4$:
  $2^x > 8$, $3^x > 81$ ⇒ оба множителя > 0
  Произведение: $+ \cdot + = +$

Шаг 4. Неравенство строгое:

$$(2^x — 8)(3^x — 81) < 0 \Rightarrow \text{решение там, где произведение отрицательно}$$

Произведение отрицательно только на интервале $x \in (3; 4)$

Ответ:

$$x \in (3; 4)$$

б)

Решить неравенство:

$$\left(3^{x+2} — \frac{1}{27}\right)(5^{3 — 2x} — 0{,}2) \geq 0$$

Шаг 1. Представим дроби как степени:

$$\frac{1}{27} = 3^{-3}, \quad 0{,}2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$$

Подставим:

$$(3^{x+2} — 3^{-3})(5^{3 — 2x} — 5^{-1}) \geq 0$$

Шаг 2. Заметим, что:

• $3^{x+2} = 3^{-3} \Rightarrow x + 2 = -3 \Rightarrow x = -5$
• $5^{3 — 2x} = 5^{-1} \Rightarrow 3 — 2x = -1 \Rightarrow x = 2$

Таким образом, критические точки: $x = -5$ и $x = 2$

Разобьём числовую прямую на интервалы:

1. $x < -5$
2. $-5 < x < 2$
3. $x > 2$

Шаг 3. Анализ знаков:

• При $x < -5$:
  • $x + 2 < -3$ ⇒ $3^{x+2} < 3^{-3}$ ⇒ $3^{x+2} — 3^{-3} < 0$
  • $x < 2$ ⇒ $3 — 2x > -1$ ⇒ $5^{3 — 2x} > 5^{-1}$ ⇒ $5^{3 — 2x} — 5^{-1} > 0$
  • Произведение: $(-)(+) = —$
• При $-5 < x < 2$:
  • $x + 2 > -3$ ⇒ $3^{x+2} > 3^{-3}$ ⇒ $3^{x+2} — 3^{-3} > 0$
  • $3 — 2x > -1$ ⇒ $5^{3 — 2x} > 5^{-1}$ ⇒ $5^{3 — 2x} — 5^{-1} > 0$
  • Произведение: $+ \cdot + = +$
• При $x > 2$:
  • $x + 2 > -3$ ⇒ $3^{x+2} — 3^{-3} > 0$
  • $3 — 2x < -1$ ⇒ $5^{3 — 2x} < 5^{-1}$ ⇒ $5^{3 — 2x} — 5^{-1} < 0$
  • Произведение: $+ \cdot — = —$

Шаг 4. Учитываем граничные точки:

• При $x = -5$: первый множитель = 0 ⇒ произведение = 0 (подходит)
• При $x = 2$: второй множитель = 0 ⇒ произведение = 0 (подходит)

Шаг 5. Нам нужно:

$$(3^{x+2} — 3^{-3})(5^{3 — 2x} — 5^{-1}) \geq 0$$

Решение на интервале, где произведение положительно или равно нулю:

• Это $[-5; 2]$

Ответ:

$$x \in [-5; 2]$$