ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) $3^{x^2 — 4,5} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{27}$;
$3^{x^2 — 4,5} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{3} \right)^3$;
$3^{x^2 — 4,5 + 0,5} = 3^{-3}$;
$x^2 — 4 = -3$;
$x^2 = 1$;
$x = \pm 1$;
Ответ: $\pm 1$.

б) $0,5^{x^2 — 5,5} \cdot \sqrt{0,5} = 32$;
$0,5^{x^2 — 5,5} \cdot 0,5^{\frac{1}{2}} = 2^5$;
$\left( \frac{1}{2} \right)^{x^2 — 5,5 + 0,5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{-5}$;
$x^2 — 5 = -5$;
$x^2 = 0$;
$x = 0$;
Ответ: 0.

в) $\sqrt{2^{-1}} \cdot 2^{x^2 — 7,5} = \frac{1}{128}$;
$2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^{x^2 — 7,5} = \left( \frac{1}{2} \right)^7$;
$2^{-0,5 + x^2 — 7,5} = 2^{-7}$;
$x^2 — 8 = -7$;
$x^2 = 1$;
$x = \pm 1$;
Ответ: $\pm 1$.

г) $0,1^{x^2 — 0,5} \cdot \sqrt{0,1} = 0,001$;
$0,1^{x^2 — 0,5} \cdot 0,1^{\frac{1}{2}} = 0,1^3$;
$0,1^{x^2 — 0,5 + 0,5} = 0,1^3$;
$x^2 = 3$;
$x = \pm \sqrt{3}$;
Ответ: $\pm \sqrt{3}$.

а) $3^{x^2 — 4{,}5} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{1}{27}$

Шаг 1: Заменим корень на степень:

$$\sqrt{3} = 3^{1/2}$$

Шаг 2: Подставим:

$$3^{x^2 — 4{,}5} \cdot 3^{1/2} = \dfrac{1}{27}$$

Шаг 3: Используем свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями:

$$3^{x^2 — 4{,}5 + 0{,}5} = \dfrac{1}{27} \Rightarrow 3^{x^2 — 4} = \dfrac{1}{3^3} = 3^{-3}$$

Шаг 4: Приравниваем показатели степеней:

$$x^2 — 4 = -3 \Rightarrow x^2 = -3 + 4 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

Ответ: $\pm 1$

б) $0{,}5^{x^2 — 5{,}5} \cdot \sqrt{0{,}5} = 32$

Шаг 1: Заменим числа:

$$0{,}5 = \dfrac{1}{2}, \quad \sqrt{0{,}5} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{1/2}$$

Шаг 2: Подставим:

$$\left( \dfrac{1}{2} \right)^{x^2 — 5{,}5} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{1/2} = 32$$

Шаг 3: Объединим степени:

$$\left( \dfrac{1}{2} \right)^{x^2 — 5{,}5 + 0{,}5} = 2^5 = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-5}$$

Шаг 4: Получаем:

$$\left( \dfrac{1}{2} \right)^{x^2 — 5} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-5} \Rightarrow x^2 — 5 = -5 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$

Ответ: 0

в) $\sqrt{2^{-1}} \cdot 2^{x^2 — 7{,}5} = \dfrac{1}{128}$

Шаг 1: Заменим корень:

$$\sqrt{2^{-1}} = \left( 2^{-1} \right)^{1/2} = 2^{-1/2}$$

Шаг 2: Подставим в уравнение:

$$2^{-1/2} \cdot 2^{x^2 — 7{,}5} = \dfrac{1}{128}$$

Шаг 3: Объединим степени слева:

$$2^{-1/2 + x^2 — 7{,}5} = \dfrac{1}{2^7} = 2^{-7}$$

Шаг 4: Получаем:

$$x^2 — 8 = -7 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

Ответ: $\pm 1$

г) $0{,}1^{x^2 — 0{,}5} \cdot \sqrt{0{,}1} = 0{,}001$

Шаг 1: Заменим корень на степень:

$$\sqrt{0{,}1} = 0{,}1^{1/2}$$

Шаг 2: Подставим:

$$0{,}1^{x^2 — 0{,}5} \cdot 0{,}1^{1/2} = 0{,}001$$

Шаг 3: Объединим степени слева:

$$0{,}1^{x^2 — 0{,}5 + 0{,}5} = 0{,}001 \Rightarrow 0{,}1^{x^2} = 0{,}001$$

Шаг 4: Представим правую часть как степень:

$$0{,}001 = 10^{-3} = (0{,}1)^3$$

Шаг 5: Приравниваем показатели:

$$x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$$

Ответ: $\pm \sqrt{3}$