ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) $2^x \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{1}{9}$;
$2^x \cdot \frac{3^x}{2^x} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$;
$3^x = 3^{-2}$;
$x = -2$;
Ответ: $-2$.

б) $\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 3^x = \sqrt{\frac{27}{125}}$;
$\frac{1}{5^x} \cdot 3^x = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^3}$;
$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{3}{2}}$;
$x = \frac{3}{2} = 1,5$;
Ответ: $1,5$.

в) $5^x \cdot 2^x = 0,1^{-3}$;
$(5 \cdot 2)^x = (10^{-1})^{-3}$;
$10^x = 10^3$;
$x = 3$;
Ответ: 3.

г) $0,3^x \cdot 3^x = \sqrt[3]{0,81}$;
$(0,3 \cdot 3)^x = \sqrt[3]{\frac{81}{100}}$;
$0,9^x = \sqrt[3]{\left(\frac{9}{10}\right)^2}$;
$0,9^x = 0,9^{\frac{2}{3}}$;
$x = \frac{2}{3}$;
Ответ: $\frac{2}{3}$.

а) $2^x \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^x = \dfrac{1}{9}$

Шаг 1: Запишем второе основание как дробь в степени:

$$\left( \dfrac{3}{2} \right)^x = \dfrac{3^x}{2^x}$$

Шаг 2: Подставим:

$$2^x \cdot \dfrac{3^x}{2^x} = \dfrac{1}{9}$$

Шаг 3: Сократим $2^x$:

$$\cancel{2^x} \cdot \dfrac{3^x}{\cancel{2^x}} = 3^x \Rightarrow 3^x = \dfrac{1}{9}$$

Шаг 4: Представим правую часть как степень числа 3:

$$\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3^2} = 3^{-2}$$

Шаг 5: Приравниваем показатели:

$$x = -2$$

Ответ: $-2$

б) $\left( \dfrac{1}{5} \right)^x \cdot 3^x = \sqrt{ \dfrac{27}{125} }$

Шаг 1: Запишем дробь как произведение:

$$\left( \dfrac{1}{5} \right)^x = \dfrac{1}{5^x},\quad \text{значит:} \quad \dfrac{1}{5^x} \cdot 3^x = \dfrac{3^x}{5^x} = \left( \dfrac{3}{5} \right)^x$$

Шаг 2: Запишем правую часть как корень из степени:

$$\sqrt{ \dfrac{27}{125} } = \sqrt{ \left( \dfrac{3^3}{5^3} \right) } = \left( \dfrac{3}{5} \right)^{3/2}$$

Шаг 3: Получаем:

$$\left( \dfrac{3}{5} \right)^x = \left( \dfrac{3}{5} \right)^{3/2}$$

Шаг 4: Приравниваем показатели:

$$x = \dfrac{3}{2} \Rightarrow x = 1{,}5$$

Ответ: $1{,}5$

в) $5^x \cdot 2^x = 0{,}1^{-3}$

Шаг 1: Объединим левую часть:

$$5^x \cdot 2^x = (5 \cdot 2)^x = 10^x$$

Шаг 2: Представим правую часть как степень десяти:

$$0{,}1 = 10^{-1} \Rightarrow 0{,}1^{-3} = (10^{-1})^{-3} = 10^3$$

Шаг 3: Подставим:

$$10^x = 10^3 \Rightarrow x = 3$$

Ответ: 3

г) $0{,}3^x \cdot 3^x = \sqrt[3]{0{,}81}$

Шаг 1: Объединим левую часть:

$$0{,}3^x \cdot 3^x = (0{,}3 \cdot 3)^x = (0{,}9)^x$$

Шаг 2: Представим правую часть как корень из дроби:

$$0{,}81 = \dfrac{81}{100} \Rightarrow \sqrt[3]{0{,}81} = \sqrt[3]{ \dfrac{81}{100} } = \sqrt[3]{ \left( \dfrac{9}{10} \right)^2 } = \left( \dfrac{9}{10} \right)^{2/3}$$

Шаг 3: Переведём в десятичную форму:

$$\dfrac{9}{10} = 0{,}9 \Rightarrow \left( \dfrac{9}{10} \right)^{2/3} = 0{,}9^{2/3}$$

Шаг 4: Получаем:

$$0{,}9^x = 0{,}9^{2/3} \Rightarrow x = \dfrac{2}{3}$$

Ответ: $\dfrac{2}{3}$