ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $(\sqrt{12})^x \cdot (\sqrt{3})^x = \frac{1}{6}$;

б) $(\sqrt[3]{3})^{2x} \cdot (\sqrt[3]{9})^{2x} = 243$

Решить уравнение:

а) $(\sqrt{12})^x \cdot (\sqrt{3})^x = \frac{1}{6}$;
$(\sqrt{12} \cdot 3)^x = 6^{-1}$;
$(\sqrt{36})^x = 6^{-1}$;
$6^x = 6^{-1}$;
$x = -1$;
Ответ: $-1$.

б) $(\sqrt[3]{3})^{2x} \cdot (\sqrt[3]{9})^{2x} = 243$;
$(\sqrt[3]{3 \cdot 9})^{2x} = 3^5$;
$(\sqrt[3]{27})^{2x} = 3^5$;
$3^{2x} = 3^5$;
$2x = 5$;
$x = 2{,}5$;
Ответ: $2{,}5$.

а) $(\sqrt{12})^x \cdot (\sqrt{3})^x = \dfrac{1}{6}$

Шаг 1: Представим корни в виде степеней:

$$\sqrt{12} = 12^{1/2}, \quad \sqrt{3} = 3^{1/2} \Rightarrow (\sqrt{12})^x = (12^{1/2})^x = 12^{x/2},\quad (\sqrt{3})^x = 3^{x/2}$$

Шаг 2: Перепишем уравнение:

$$12^{x/2} \cdot 3^{x/2}$$

Шаг 3: Представим 12 как $3 \cdot 4$:

$$12^{x/2} = (3 \cdot 4)^{x/2} = 3^{x/2} \cdot 4^{x/2}$$

Шаг 4: Подставим:

$$(3^{x/2} \cdot 4^{x/2}) \cdot 3^{x/2} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow 3^{x/2} \cdot 3^{x/2} \cdot 4^{x/2} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow 3^x \cdot 4^{x/2} = \dfrac{1}{6}$$

Шаг 5: Запишем $4 = 2^2$, тогда:

$$4^{x/2} = (2^2)^{x/2} = 2^x$$

Шаг 6: Получаем:

$$3^x \cdot 2^x = (3 \cdot 2)^x = 6^x \Rightarrow 6^x = \dfrac{1}{6} = 6^{-1} \Rightarrow x = -1$$

Ответ: $-1$

б) $(\sqrt[3]{3})^{2x} \cdot (\sqrt[3]{9})^{2x} = 243$

Шаг 1: Представим корни как степени:

$$\sqrt[3]{3} = 3^{1/3},\quad \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{2/3}$$

Шаг 2: Подставим степени:

$$(3^{1/3})^{2x} \cdot (3^{2/3})^{2x} = 243$$

Шаг 3: Используем правило степеней:

$$3^{(2x/3)} \cdot 3^{(4x/3)} = 243$$

Шаг 4: Сложим показатели:

$$3^{2x/3 + 4x/3} = 3^{6x/3} = 3^{2x}$$

Шаг 5: Представим 243 как степень тройки:

$$243 = 3^5$$

Шаг 6: Приравниваем степени:

$$3^{2x} = 3^5 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$$

Ответ: $2{,}5$