ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) $\log_2 2 = 1$;

б) $\log_{1/3} 1 = 0$;

в) $\log_{0{,}1} 0{,}1 = 1$;

г) $\log_5 1 = 0$

Доказать, что:

а) $\log_2 2 = 1$;
Выполняется равенство:
$2^1 = 2$;
Что и требовалось доказать.

б) $\log_{1/3} 1 = 0$;
Выполняется равенство:
$\left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$;
Что и требовалось доказать.

в) $\log_{0{,}1} 0{,}1 = 1$;
Выполняется равенство:
$0{,}1^1 = 0{,}1$;
Что и требовалось доказать.

г) $\log_5 1 = 0$;
Выполняется равенство:
$5^0 = 1$;
Что и требовалось доказать.

а) $\log_2 2 = 1$

Шаг 1. Вспомним определение логарифма:

$$\log_a b = c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c = b$$

Где:

• $a > 0$, $a \ne 1$ — основание логарифма,
• $b > 0$ — аргумент логарифма,
• $c$ — показатель степени, при котором основание $a$ возводится, чтобы получить $b$

Шаг 2. Подставим значения:

$$\log_2 2 = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad 2^1 = 2$$

Шаг 3. Проверим:

$$2^1 = 2$$

Равенство верно.

Вывод:

$$\log_2 2 = 1 \quad \text{— доказано.}$$

б) $\log_{1/3} 1 = 0$

Шаг 1. Используем определение логарифма:

$$\log_a b = c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c = b$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_{1/3} 1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$$

Шаг 3. Проверим:

Любое число (кроме 0), возведённое в степень 0, даёт 1:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$$

Равенство верно.

Вывод:

$$\log_{1/3} 1 = 0 \quad \text{— доказано.}$$

в) $\log_{0{,}1} 0{,}1 = 1$

Шаг 1. По определению логарифма:

$$\log_a b = c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c = b$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_{0{,}1} 0{,}1 = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad (0{,}1)^1 = 0{,}1$$

Шаг 3. Проверим:

$$(0{,}1)^1 = 0{,}1$$

Равенство верно.

Вывод:

$$\log_{0{,}1} 0{,}1 = 1 \quad \text{— доказано.}$$

г) $\log_5 1 = 0$

Шаг 1. По определению логарифма:

$$\log_a b = c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c = b$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_5 1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 5^0 = 1$$

Шаг 3. Проверим:

$$5^0 = 1$$

Равенство верно.

Вывод:

$${\log }_{5}1=0\text{— доказано.}$$