ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство:

а) $4^x — 5 \cdot 2^x \geq -6$;

$2^{2x} — 5 \cdot 2^x + 6 \geq 0$;

Пусть $y = 2^x$, тогда:

$y^2 — 5y + 6 \geq 0$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:

$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;

$(y — 2)(y — 3) \geq 0$;

$y \leq 2$ или $y \geq 3$;

Первое значение:

$2^x \leq 2$;

$x \leq 1$;

Второе значение:

$2^x \geq 3$;

$x \geq \log_2 3$;

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [\log_2 3; +\infty)$.

б) $16^x \leq 6 \cdot 4^x — 5$;

$4^{2x} — 6 \cdot 4^x + 5 \leq 0$;

Пусть $y = 4^x$, тогда:

$y^2 — 6y + 5 \leq 0$;

$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$, тогда:

$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$;

$(y — 1)(y — 5) \leq 0$;

$1 \leq y \leq 5$;

Первое значение:

$4^x \geq 1$;

$x \geq 0$;

Второе значение:

$4^x \leq 5$;

$x \leq \log_4 5$;

Ответ: $x \in [0; \log_4 5]$.

в) $9^x — 7 \cdot 3^x < -12$;

$3^{2x} — 7 \cdot 3^x + 12 < 0$;

Пусть $y = 3^x$, тогда:

$y^2 — 7y + 12 < 0$;

$D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1$, тогда:

$y_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3$ и $y_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4$;

$(y — 3)(y — 4) < 0$;

$3 < y < 4$;

Первое значение:

$3^x > 3$;

$x > 1$;

Второе значение:

$3^x < 4$;

$x < \log_3 4$;

Ответ: $x \in (1; \log_3 4)$.

г) $9 \cdot 7^x + 14 > -49^x$;

$49^x + 9 \cdot 7^x + 14 > 0$;

$49^x > 0, \; 9 \cdot 7^x > 0, \; 14 > 0$;

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

а) Решить неравенство:

$4^x — 5 \cdot 2^x \geq -6$

Шаг 1. Представим $4^x$ как $(2^2)^x = (2^x)^2 = 2^{2x}$. Подставим это в неравенство:

$2^{2x} — 5 \cdot 2^x \geq -6$

Шаг 2. Перенесём правую часть влево:

$2^{2x} — 5 \cdot 2^x + 6 \geq 0$

Шаг 3. Введём замену: пусть $y = 2^x$. Поскольку $2^x > 0$ при любом $x$, область допустимых значений (ОДЗ): $y > 0$

Подставим замену:

$y^2 — 5y + 6 \geq 0$

Шаг 4. Решим квадратное неравенство:

Найдём дискриминант:

$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$

Шаг 5. Найдём корни квадратного уравнения:

$y_1 = \frac{5 — \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Шаг 6. Решим неравенство:

$y^2 — 5y + 6 \geq 0$

Разложим на множители:

$(y — 2)(y — 3) \geq 0$

Это неравенство выполняется при:

$y \leq 2$ или $y \geq 3$

Шаг 7. Вернёмся к переменной $x$, используя $y = 2^x$

Первое:
$2^x \leq 2$
Возьмём логарифм по основанию 2:
$x \leq \log_2 2 = 1$

Второе:
$2^x \geq 3$
Логарифмируем:
$x \geq \log_2 3$

Ответ:
$x \in (-\infty; 1] \cup [\log_2 3; +\infty)$

б) Решить неравенство:

$16^x \leq 6 \cdot 4^x — 5$

Шаг 1. Представим $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2 = 4^{2x}$

Тогда неравенство:

$4^{2x} — 6 \cdot 4^x + 5 \leq 0$

Шаг 2. Введём замену: $y = 4^x$, при этом $y > 0$

Получим:

$y^2 — 6y + 5 \leq 0$

Шаг 3. Найдём дискриминант:

$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$

Шаг 4. Найдём корни:

$y_1 = \frac{6 — \sqrt{16}}{2} = \frac{6 — 4}{2} = 1$

$y_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5$

Шаг 5. Решим неравенство:

$(y — 1)(y — 5) \leq 0$

Это неравенство выполняется при:

$1 \leq y \leq 5$

Шаг 6. Вернёмся к переменной $x$, используя $y = 4^x$

Первое:
$4^x \geq 1$
Логарифмируем:
$x \geq \log_4 1 = 0$

Второе:
$4^x \leq 5$
Логарифмируем:
$x \leq \log_4 5$

Ответ:
$x \in [0; \log_4 5]$

в) Решить неравенство:

$9^x — 7 \cdot 3^x < -12$

Шаг 1. Представим $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = 3^{2x}$

Тогда неравенство:

$3^{2x} — 7 \cdot 3^x + 12 < 0$

Шаг 2. Введём замену: $y = 3^x$, тогда $y > 0$

Получим:

$y^2 — 7y + 12 < 0$

Шаг 3. Найдём дискриминант:

$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1$

Шаг 4. Найдём корни:

$y_1 = \frac{7 — \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Шаг 5. Решим неравенство:

$(y — 3)(y — 4) < 0$

Это выполняется при:

$3 < y < 4$

Шаг 6. Вернёмся к переменной $x$, используя $y = 3^x$

Первое:
$3^x > 3$
Логарифмируем:
$x > \log_3 3 = 1$

Второе:
$3^x < 4$
Логарифмируем:
$x < \log_3 4$

Ответ:
$x \in (1; \log_3 4)$

г) Решить неравенство:

$9 \cdot 7^x + 14 > -49^x$

Шаг 1. Перенесём все в левую часть:

$9 \cdot 7^x + 14 + 49^x > 0$

или

$49^x + 9 \cdot 7^x + 14 > 0$

Шаг 2. Отметим, что:

• $7^x > 0$ при любом $x$
• $49^x = (7^2)^x = (7^x)^2 > 0$
• $14 > 0$

Сумма трёх положительных чисел всегда положительна:

$49^x + 9 \cdot 7^x + 14 > 0$ выполняется при любом $x \in \mathbb{R}$

Ответ:
$x \in (-\infty; +\infty)$