ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_4 64 = 3$;

б) $\log_2 4\sqrt{2} = 2{,}5$;

в) $\log_{0{,}2} 125 = -3$;

г) $\lg 100^5\sqrt{10} = 2{,}2$

Доказать, что:

а) $\log_4 64 = 3$;
Выполняется равенство:
$4^3 = 64$;
Что и требовалось доказать.

б) $\log_2 4\sqrt{2} = 2{,}5$;
Выполняется равенство:
$2^{2{,}5} = 2^2 \cdot 2^{0{,}5} = 4\sqrt{2}$;
Что и требовалось доказать.

в) $\log_{0{,}2} 125 = -3$;
Выполняется равенство:
$0{,}2^{-3} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = 5^3 = 125$;
Что и требовалось доказать.

г) $\lg 100^5\sqrt{10} = 2{,}2$;
Выполняется равенство:
$10^{2{,}2} = 10^2 \cdot 10^{0{,}2} = 100^5\sqrt{10}$;
Что и требовалось доказать.

а) $\log_4 64 = 3$

Шаг 1. Вспоминаем определение логарифма:

$$\log_a b = c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c = b$$

Здесь:

• $a = 4$
• $b = 64$
• $c = 3$

Шаг 2. Проверяем:

$$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$$

Шаг 3. Подтверждение:

$$a^c = b \Rightarrow 4^3 = 64$$

Вывод:

$$\log_4 64 = 3 \quad \text{— доказано.}$$

б) $\log_2 \left(4\sqrt{2}\right) = 2{,}5$

Шаг 1. Определим левую и правую часть:

Проверим:

$$2^{2{,}5} = 4\sqrt{2}$$

Шаг 2. Разложим показатель степени:

$$2^{2{,}5} = 2^2 \cdot 2^{0{,}5}$$

Пояснение:

• $2^2 = 4$
• $2^{0{,}5} = \sqrt{2}$

Значит:

$$2^{2{,}5} = 4 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

Шаг 3. Проверка:

$$2^{2{,}5} = 4\sqrt{2} \Rightarrow \log_2 (4\sqrt{2}) = 2{,}5$$

Вывод:

$$\log_2 4\sqrt{2} = 2{,}5 \quad \text{— доказано.}$$

в) $\log_{0{,}2} 125 = -3$

Шаг 1. Проверим, чему равен $0{,}2^{-3}$

$$0{,}2^{-3} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-3}$$

Свойство степени:

$$\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$$

Применим:

$$\left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = 5^3 = 125$$

Шаг 2. Подтверждение:

$$(0{,}2)^{-3} = 125 \Rightarrow \log_{0{,}2} 125 = -3$$

Вывод:

$$\log_{0{,}2} 125 = -3 \quad \text{— доказано.}$$

г) $\lg \left(100^5\sqrt{10}\right) = 2{,}2$

Шаг 1. Запишем выражение через степень десяти:

Заметим:

• $100 = 10^2$
• $\sqrt{10} = 10^{0{,}5}$

Тогда:

$$100^5\sqrt{10} = (10^2)^5 \cdot 10^{0{,}5} = 10^{10} \cdot 10^{0{,}5} = 10^{10{,}5}$$

Нам нужно показать:

$$\lg(10^{2{,}2}) = 2{,}2$$

То есть:

$$\lg(10^2 \cdot 10^{0{,}2}) = \lg(100^5\sqrt{10})$$

Шаг 2. Свойство логарифма:

$$\lg(10^a) = a \Rightarrow \lg(10^{2{,}2}) = 2{,}2$$

Шаг 3. Проверка:

$$10^{2{,}2} = 10^2 \cdot 10^{0{,}2} = 100^5\sqrt{10} \Rightarrow \lg(100^5\sqrt{10}) = 2{,}2$$

Вывод:

$$\lg {100}^5\sqrt{10}=\mathrm{2,2}\text{— доказано.}$$