ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${\log }_{\sqrt{2}}1{}_{}$

б) ${\log }_{\mathrm{0,5}}\frac{1}{4\sqrt{2}}$

в) ${\log }_{\sqrt{3}}81\sqrt{3}$

г) $\lg \frac{1}{\sqrt[3]{10}}$

Вычислить значение:

а) $\log_{\sqrt{2}} 1 = \log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2})^0 = 0$;
Ответ: 0.

б) $\log_{0{,}5} \frac{1}{4\sqrt{2}} = \log_{\frac{1}{2}} \left( \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{0{,}5} \right) = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{2+0{,}5} = 2 + 0{,}5 = 2{,}5$;
Ответ: 2,5.

в) $\log_{\sqrt{3}} 81\sqrt{3} = \log_{\sqrt{3}} \left( (\sqrt{3})^{2 \cdot 4} \cdot \sqrt{3} \right) = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^{2 \cdot 4 + 1} = 2 \cdot 4 + 1 = 9$;
Ответ: 9.

г) $\lg \frac{1}{\sqrt[3]{10}} = \lg \left( \frac{1}{10} \right)^{\frac{1}{3}} = \lg 10^{-\frac{1}{3}} = -\frac{1}{3}$;
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

а) $\log_{\sqrt{2}} 1$

Шаг 1. Вспомним основное логарифмическое свойство:

$$\log_a 1 = 0, \quad \text{при любом } a > 0, \, a \ne 1$$

Шаг 2. Обоснование:

$$a^0 = 1 \Rightarrow \log_a 1 = 0$$

Подставим:

$$\log_{\sqrt{2}} 1 = \log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^0 = 0$$

Ответ: 0

б) $\log_{0{,}5} \frac{1}{4\sqrt{2}}$

Шаг 1. Преобразуем основание:

$$0{,}5 = \frac{1}{2}$$

Шаг 2. Преобразуем выражение под логарифмом:

Запишем $4\sqrt{2}$ как:

$$4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{0{,}5} = 2^{2{,}5}$$

Тогда:

$$\frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{2{,}5}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2{,}5}$$

Шаг 3. Подставим в логарифм:

$$\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{2{,}5}$$

Шаг 4. Применим основное логарифмическое свойство:

$$\log_a (a^x) = x \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{2{,}5} = 2{,}5$$

Ответ: 2,5

в) $\log_{\sqrt{3}} 81\sqrt{3}$

Шаг 1. Представим 81 как степень 3:

$$81 = 3^4 = (\sqrt{3})^{2 \cdot 4}$$

Пояснение:

$$\sqrt{3} = 3^{1/2} \Rightarrow (\sqrt{3})^{2 \cdot 4} = (3^{1/2})^8 = 3^4 = 81$$

Также:

$$\sqrt{3} = (\sqrt{3})^1$$

Шаг 2. Запишем произведение:

$$81\sqrt{3} = (\sqrt{3})^{2 \cdot 4} \cdot (\sqrt{3})^1 = (\sqrt{3})^{8 + 1} = (\sqrt{3})^9$$

Шаг 3. Подставим в логарифм:

$$\log_{\sqrt{3}} \left( (\sqrt{3})^9 \right)$$

Шаг 4. Применим:

$$\log_a (a^x) = x \Rightarrow \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^9 = 9$$

Ответ: 9

г) $\lg \frac{1}{\sqrt[3]{10}}$

Шаг 1. Вспомним:

$$\lg x = \log_{10} x$$

Шаг 2. Представим выражение в виде степени:

$$\sqrt[3]{10} = 10^{1/3} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{10}} = \left(10^{1/3}\right)^{-1} = 10^{-1/3}$$

Шаг 3. Подставим:

$$\lg \left( \frac{1}{\sqrt[3]{10}} \right) = \lg (10^{-1/3})$$

Шаг 4. Применим:

$$\log_{10} (10^x) = x \Rightarrow \lg (10^{-1/3}) = -\frac{1}{3}$$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

Итоговые ответы:

а) $\log_{\sqrt{2}} 1 = 0$
б) $\log_{0{,}5} \frac{1}{4\sqrt{2}} = 2{,}5$
в) $\log_{\sqrt{3}} 81\sqrt{3} = 9$
г) $\lg \frac{1}{\sqrt[3]{10}} = -\frac{1}{3}$