ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2^{3+{\log }_{2}9}$

б) $7^{1+{\log }_{7}4}$

в) ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{2+{\log }_{\frac{1}{6}}20}$

г) $(\sqrt{7}{)}^{4+{\log }_{\sqrt{7}}0,5}$

Вычислить значение:

а) $2^{3+\log_2 9} = 2^3 \cdot 2^{\log_2 9} = 8 \cdot 9 = 72$;
Ответ: 72.

б) $7^{1+\log_7 4} = 7^1 \cdot 7^{\log_7 4} = 7 \cdot 4 = 28$;
Ответ: 28.

в) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2+\log_{\frac{1}{6}} 20} = \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{\log_{\frac{1}{6}} 20} = \frac{1}{36} \cdot 20 = \frac{5}{9}$;
Ответ: $\frac{5}{9}$.

г) $(\sqrt{7})^{4+\log_{\sqrt{7}} 0,5} = (\sqrt{7})^4 \cdot (\sqrt{7})^{\log_{\sqrt{7}} 0,5} = 7^2 \cdot 0,5 = \frac{49}{2} = 24,5$;
Ответ: 24,5.

а) $2^{3 + \log_2 9}$

Шаг 1. Имеем выражение:

$$2^{3 + \log_2 9}$$

Шаг 2. По свойству степени:

$$a^{x + y} = a^x \cdot a^y$$

Применим это к нашему выражению:

$$2^{3 + \log_2 9} = 2^3 \cdot 2^{\log_2 9}$$

Шаг 3. Вычислим первую степень:

$$2^3 = 8$$

Шаг 4. По основному логарифмическому тождеству:

$$2^{\log_2 9} = 9$$

Шаг 5. Умножаем:

$$8 \cdot 9 = 72$$

Ответ: 72

б) $7^{1 + \log_7 4}$

Шаг 1. Имеем выражение:

$$7^{1 + \log_7 4}$$

Шаг 2. Используем свойство степени:

$$7^1 \cdot 7^{\log_7 4}$$

Шаг 3. Вычислим первую степень:

$$7^1 = 7$$

Шаг 4. По тождеству:

$$7^{\log_7 4} = 4$$

Шаг 5. Перемножим:

$$7 \cdot 4 = 28$$

Ответ: 28

в) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2 + \log_{\frac{1}{6}} 20}$

Шаг 1. Имеем выражение:

$$\left(\frac{1}{6}\right)^{2 + \log_{\frac{1}{6}} 20}$$

Шаг 2. По свойству степеней:

$$\left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{\log_{\frac{1}{6}} 20}$$

Шаг 3. Вычислим первую степень:

$$\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}$$

Шаг 4. Применим логарифмическое тождество:

$$\left(\frac{1}{6}\right)^{\log_{\frac{1}{6}} 20} = 20$$

Шаг 5. Умножаем:

$$\frac{1}{36} \cdot 20 = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$$

Ответ: $\frac{5}{9}$

г) $(\sqrt{7})^{4 + \log_{\sqrt{7}} 0{,}5}$

Шаг 1. Имеем выражение:

$$(\sqrt{7})^{4 + \log_{\sqrt{7}} 0{,}5}$$

Шаг 2. Используем свойство степеней:

$$(\sqrt{7})^4 \cdot (\sqrt{7})^{\log_{\sqrt{7}} 0{,}5}$$

Шаг 3. Преобразуем первую степень.
Поскольку $\sqrt{7} = 7^{1/2}$, то:

$$(\sqrt{7})^4 = (7^{1/2})^4 = 7^{2} = 49$$

Шаг 4. Применим тождество логарифма:

$$(\sqrt{7})^{\log_{\sqrt{7}} 0{,}5} = 0{,}5$$

Шаг 5. Перемножим:

$$49 \cdot 0{,}5 = \frac{49}{2} = 24{,}5$$

Ответ: 24,5