ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $8^{2{\log }_{8}3}$

б) $6^{-3{\log }_{6}2}$

в) $3^{4{\log }_{3}2}$

г) $5^{-2{\log }_{5}3}$

Вычислить значение:

а) $8^{2 \log_8 3} = (8^{\log_8 3})^2 = 3^2 = 9$;
Ответ: 9.

б) $6^{-3 \log_6 2} = (6^{\log_6 2})^{-3} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$;
Ответ: $\frac{1}{8}$.

в) $3^{4 \log_3 2} = (3^{\log_3 2})^4 = 2^4 = 16$;
Ответ: 16.

г) $5^{-2 \log_5 3} = (5^{\log_5 3})^{-2} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$;
Ответ: $\frac{1}{9}$.

а) $8^{2 \log_8 3}$

Шаг 1. Дано выражение:

$$8^{2 \log_8 3}$$

Шаг 2. Используем свойство степеней:

$$a^{b \cdot c} = (a^b)^c$$

Здесь:

$$8^{2 \log_8 3} = \left( 8^{\log_8 3} \right)^2$$

Шаг 3. Применяем логарифмическое тождество:

$$8^{\log_8 3} = 3$$

Шаг 4. Возводим в квадрат:

$$3^2 = 9$$

Ответ: 9

б) $6^{-3 \log_6 2}$

Шаг 1. Дано выражение:

$$6^{-3 \log_6 2}$$

Шаг 2. Используем свойство:

$$a^{b \cdot c} = (a^b)^c$$ $$6^{-3 \log_6 2} = \left(6^{\log_6 2} \right)^{-3}$$

Шаг 3. Применяем тождество:

$$6^{\log_6 2} = 2$$

Шаг 4. Возводим в степень:

$$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$

Ответ: $\frac{1}{8}$

в) $3^{4 \log_3 2}$

Шаг 1. Дано выражение:

$$3^{4 \log_3 2}$$

Шаг 2. Используем:

$$3^{4 \log_3 2} = \left(3^{\log_3 2} \right)^4$$

Шаг 3. Применим тождество:

$$3^{\log_3 2} = 2$$

Шаг 4. Возводим в четвёртую степень:

$$2^4 = 16$$

Ответ: 16

г) $5^{-2 \log_5 3}$

Шаг 1. Дано выражение:

$$5^{-2 \log_5 3}$$

Шаг 2. Представим как степень:

$$\left(5^{\log_5 3} \right)^{-2}$$

Шаг 3. По тождеству:

$$5^{\log_5 3} = 3$$

Шаг 4. Возводим в отрицательную степень:

$$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$$

Ответ: $\frac{1}{9}$

Общие используемые свойства:

Степень произведения:

$$a^{b + c} = a^b \cdot a^c$$

Степень степени:

$$(a^b)^c = a^{bc}$$

Основное логарифмическое тождество:

$$a^{\log_a x} = x$$

Отрицательная степень:

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$