ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти значение логарифмической функции $y={\log }_{2}x$ в данных точках:

а) $x_1=4,x_2=8,x_3=16$;
$y(4)={\log }_{2}4={\log }_2{2}^2=2$;
$y(8)={\log }_{2}8={\log }_2{2}^3=3$;
$y(16)={\log }_{2}16={\log }_2{2}^4=4$;

б) $x_1={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{8}}},x_2={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}}$;
$y\left({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{8}}}\right)={\log }_2{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{8}}}={\log }_2\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}={\log }_2{2}^{-\frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-\mathrm{0,5}$;
$y\left({\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}}\right)={\log }_2{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}}={\log }_2\sqrt{8}={\log }_2{2}^{\frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}=\mathrm{1,5}$;

в) $x_1={\displaystyle \frac{1}{8}},x_2={\displaystyle \frac{1}{32}},x_3={\displaystyle \frac{1}{128}}$;
$y\left({\displaystyle \frac{1}{8}}\right)={\log }_2{\displaystyle \frac{1}{8}}={\log }_2{2}^{-3}=-3$;
$y\left({\displaystyle \frac{1}{32}}\right)={\log }_2{\displaystyle \frac{1}{32}}={\log }_2{2}^{-5}=-5$;
$y\left({\displaystyle \frac{1}{128}}\right)={\log }_2{\displaystyle \frac{1}{128}}={\log }_2{2}^{-7}=-7$;

г) $x_1=\sqrt{32},x_2=16\sqrt{128}$;
$y(\sqrt{32})={\log }_2\sqrt{32}={\log }_2{2}^{\frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}=\mathrm{2,5}$;
$y(16\sqrt{128})={\log }_{2}16\sqrt{128}={\log }_2{2}^{4+\frac{7}{2}}=4+{\displaystyle \frac{7}{2}}=\mathrm{7,5}$

Функция:

$$y={\log }_{2}x$$

Это логарифм по основанию 2, то есть мы ищем такое число $y$, для которого:

$$2^y=x$$

Мы будем применять следующие свойства логарифмов:

• ${\log }_b{b}^n=n$
• ${\log }_b\left({\displaystyle \frac{m}{n}}\right)={\log }_{b}m-{\log }_{b}n$
• ${\log }_b\sqrt[n]{a}={\log }_b{a}^{1\mathrm{/}n}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\log }_{b}a$
• ${\log }_b{a}^n=n{\log }_{b}a$
• $b^{{\log }_{b}x}=x$

а) $x_1=4,x_2=8,x_3=16$

1. $x=4$

$$y={\log }_{2}4$$

Представим 4 как степень двойки:

$$4=2^2\Rightarrow {\log }_{2}4={\log }_2(2^2)$$

Применим свойство:

$${\log }_b(b^n)=n\Rightarrow {\log }_2(2^2)=2$$

Ответ: $y=2$

2. $x=8$

$$y={\log }_{2}8$$

Представим 8 как степень двойки:

$$8=2^3\Rightarrow {\log }_{2}8={\log }_2(2^3)=3$$

Ответ: $y=3$

3. $x=16$

$$y={\log }_{2}16$$$$16=2^4\Rightarrow {\log }_{2}16={\log }_2(2^4)=4$$

Ответ: $y=4$

б) $x_1={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{8}}},x_2={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}}$

1. $x={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{8}}}$

$$y={\log }_2\left(\frac{2}{\sqrt{8}}\right)$$

Сначала упростим дробь:

$$\sqrt{8}=\sqrt{2^3}=2^{3\mathrm{/}2}\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{8}}=\frac{2}{2^{3\mathrm{/}2}}=2^{1-3\mathrm{/}2}=2^{-1\mathrm{/}2}$$

Теперь применим логарифм:

$${\log }_2(2^{-1\mathrm{/}2})=-\frac{1}{2}$$

Ответ: $y=-\mathrm{0,5}$

2. $x={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}}$

$$y={\log }_2\left(\frac{4}{\sqrt{2}}\right)$$

Представим числитель и знаменатель как степени двойки:

$$4=2^2,\sqrt{2}=2^{1\mathrm{/}2}\Rightarrow \frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{2^2}{2^{1\mathrm{/}2}}=2^{2-1\mathrm{/}2}=2^{3\mathrm{/}2}$$

Теперь применим логарифм:

$${\log }_2(2^{3\mathrm{/}2})=\frac{3}{2}$$

Ответ: $y=\mathrm{1,5}$

в) $x_1={\displaystyle \frac{1}{8}},x_2={\displaystyle \frac{1}{32}},x_3={\displaystyle \frac{1}{128}}$

1. $x={\displaystyle \frac{1}{8}}$

$$y={\log }_2\left(\frac{1}{8}\right)$$$$8=2^3\Rightarrow \frac{1}{8}=2^{-3}\Rightarrow {\log }_2(2^{-3})=-3$$

Ответ: $y=-3$

2. $x={\displaystyle \frac{1}{32}}$

$$32=2^5\Rightarrow \frac{1}{32}=2^{-5}\Rightarrow {\log }_2(2^{-5})=-5$$

Ответ: $y=-5$

3. $x={\displaystyle \frac{1}{128}}$

$$128=2^7\Rightarrow \frac{1}{128}=2^{-7}\Rightarrow {\log }_2(2^{-7})=-7$$

Ответ: $y=-7$

г) $x_1=\sqrt{32},x_2=16\sqrt{128}$

1. $x=\sqrt{32}$

$$y={\log }_2\sqrt{32}$$

Сначала упростим:

$$\sqrt{32}=\sqrt{2^5}=2^{5\mathrm{/}2}\Rightarrow {\log }_2(2^{5\mathrm{/}2})=\frac{5}{2}$$

Ответ: $y=\mathrm{2,5}$

2. $x=16\sqrt{128}$

Разложим каждое число как степень двойки:

• $16=2^4$
• $\sqrt{128}=\sqrt{2^7}=2^{7\mathrm{/}2}$

Теперь перемножим:

$$x=16\sqrt{128}=2^4\cdot 2^{7\mathrm{/}2}=2^{4+7\mathrm{/}2}=2^{8\mathrm{/}2+7\mathrm{/}2}=2^{15\mathrm{/}2}$$$$y={\log }_2(2^{15\mathrm{/}2})=\frac{15}{2}$$

Ответ: $y=\mathrm{7,5}$