ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти наибольшее значение функции:

а) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 4) = \log_{0,5} t$;

Функция монотонно убывает:
$0,5 < 1$;

Производная аргумента:
$t'(x) = (x^2)’ + (4) = 2x + 0 = 2x$;

Промежуток возрастания:
$2x \geq 0$;
$x \geq 0$;

Наименьшее значение аргумента:
$t(0) = 0^2 + 4 = 4 > 0$;

Наибольшее значение функции:
$y_{\text{наиб}} = \log_{0,5} 4 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = -2$;

Ответ: $-2$.

б) $y = \log_{0,3}(x^2 — 4x + 3) = \log_{0,3} t$;

Функция монотонно убывает:
$0,3 < 1$;

Производная аргумента:
$t'(x) = (x^2)’ + (-4x + 3)’ = 2x — 4$;

Промежуток возрастания:
$2x — 4 \geq 0$;
$x \geq 2$;

Наименьшее значение аргумента:
$t(2) = 2^2 — 4 \cdot 2 + 3 = 4 — 8 + 3 = -1 < 0$;

Ответ: не существует.

а) $y = \log_{\frac{1}{2}} (x^2 + 4)$

Шаг 1. Область определения функции

Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$x^2 + 4 > 0$$

Это неравенство выполняется при всех $x \in \mathbb{R}$, так как $x^2 \geq 0$, и $x^2 + 4 \geq 4 > 0$

Вывод: функция определена на всей числовой прямой.

Шаг 2. Монотонность логарифмической функции

Основание логарифма: $\frac{1}{2} = 0{,}5 < 1$, значит функция $y = \log_{0{,}5} t$ монотонно убывает на области определения $t > 0$

Это значит: если $t_1 < t_2$, то $\log_{0{,}5} t_1 > \log_{0{,}5} t_2$

Шаг 3. Исследуем аргумент логарифма: $t = x^2 + 4$

Поскольку логарифм убывает, то максимальное значение всей функции достигается при наименьшем значении аргумента $t = x^2 + 4$

Найдём, при каком $x$ функция $x^2 + 4$ принимает наименьшее значение:

Функция $x^2 + 4$ — парабола ветвями вверх, достигает минимума при $x = 0$, тогда:

$$x^2 + 4 = 0^2 + 4 = 4$$

Шаг 4. Вычисляем наибольшее значение логарифма

$$y = \log_{0{,}5} (x^2 + 4) = \log_{0{,}5} 4$$

Представим 4 как степень двойки:

$$4 = 2^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2}$$

Значит:

$$\log_{0{,}5} 4 = \log_{0{,}5} \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = -2$$

Ответ к пункту а:

$$\boxed{y_{\text{наиб}} = -2}$$

б) $y = \log_{0{,}3} (x^2 — 4x + 3)$

Шаг 1. Область определения

Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$x^2 — 4x + 3 > 0$$

Решим это неравенство.

Найдём корни квадратного трехчлена:

$$x^2 — 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{16 — 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow x_1 = 1,\quad x_2 = 3$$

Значит, выражение $x^2 — 4x + 3 > 0$ при:

$$x < 1 \quad \text{или} \quad x > 3$$

Область определения функции: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$

Шаг 2. Монотонность логарифма

Основание $0{,}3 < 1$, значит логарифм убывает:
при увеличении аргумента значение функции убывает

Шаг 3. Поведение аргумента: $t(x) = x^2 — 4x + 3$

Это парабола, ветви вверх, наименьшее значение достигается при вершине параболы:

$$x_0 = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$ $$t(2) = 2^2 — 4 \cdot 2 + 3 = 4 — 8 + 3 = -1$$

Но $t(2) = -1 < 0$, и $x = 2 \notin \text{область определения}$

Шаг 4. Попробуем найти наименьшее значение аргумента $t(x)$ на области определения

Так как функция определена только при $x < 1$ или $x > 3$, нужно найти наименьшее значение аргумента $t(x)$ на этих промежутках

Рассмотрим пределы:

• При $x \to 1^-$, $t(x) \to 0^+$
• При $x \to 3^+$, $t(x) \to 0^+$

Наименьшее значение аргумента стремится к нулю, но в точке $x = 2$, где достигается минимум, функция не определена, потому что $t(2) = -1 < 0$

Шаг 5. Проверим значение функции на допустимых границах

Попробуем взять минимально возможное $x$ из допустимой области, например:

• $x = 0.9$:
  $t(0.9) = (0.9)^2 — 4(0.9) + 3 = 0.81 — 3.6 + 3 = 0.21$
  $\log_{0.3}(0.21)$ — существует
• $x = 3.1$:
  $t(3.1) = 3.1^2 — 4(3.1) + 3 = 9.61 — 12.4 + 3 = 0.21$

Итак, значение аргумента всегда положительно, но максимальное значение самой функции будет при минимальном значении аргумента, а это при $x \to 1^-,\ 3^+ \Rightarrow t(x) \to 0^+$

Но при этом:

$$\lim_{t \to 0^+} \log_{0.3} t = +\infty$$

То есть функция не ограничена сверху при стремлении аргумента к нулю справа.

Однако! Мы должны найти наибольшее значение функции, которое существует как конечное число.

Но, так как на допустимом промежутке функция убывает, и аргумент стремится к нулю, то логарифм стремится к $+\infty$

А вот если аргумент становится неположительным, логарифм не существует

Посмотрим в точке $x = 2$:

$$t(2) = -1 \Rightarrow \text{логарифм не определён}$$

Вывод:

На всей допустимой области определения значение аргумента стремится к нулю, но при этом логарифм стремится к $+\infty$, то есть функция не достигает конечного наибольшего значения

А при $x = 2$ значение аргумента отрицательно → функция не существует в этой точке

Ответ к пункту б:

$$\boxed{\text{наибольшее значение не существует}}$$