ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = 3 \log_4 x$;

б) $y = 2 \log_{\frac{1}{3}} x$;

в) $y = 5 \log_8 x$;

г) $y = \frac{1}{2} \log_{0{,}5} x$

Построить график функции:

а) $y = 3 \log_4 x$;
Построим график функции $y = \log_4 x$;
Растянем его в 3 раза от оси абсцисс:

б) $y = 2 \log_{\frac{1}{3}} x$;
Построим график функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$;
Растянем его в 2 раза от оси абсцисс:

в) $y = 5 \log_8 x$;
Построим график функции $y = \log_8 x$;
Растянем его в 5 раз от оси абсцисс:

г) $y = \frac{1}{2} \log_{0{,}5} x$;
Построим график функции $y = \log_{0{,}5} x$;
Сожмем его в 2 раза к оси абсцисс:

а) $y = 3 \log_4 x$

Шаг 1. Базовая функция

Рассматриваем $y = \log_4 x$

• Основание $4 > 1$ ⇒ функция возрастает
• Область определения: $x > 0$
• Асимптота: вертикальная прямая $x = 0$
• Точка $(1,\ 0)$, так как $\log_4 1 = 0$
• Пример: $\log_4 4 = 1$ ⇒ точка $(4,\ 1)$

Шаг 2. Умножение на 3

Функция: $y = 3 \cdot \log_4 x$

• Все значения функции увеличиваются в 3 раза по модулю
• Геометрически это означает растяжение графика по вертикали (от оси $x$)

Шаг 3. Изменения графика

• Точка $(1,\ 0)$ остаётся
• Точка $(4,\ 1) \to (4,\ 3)$
• Точка $(1/4,\ -1) \to (1/4,\ -3)$

Вывод: график логарифмической функции $\log_4 x$ растянут в 3 раза вверх и вниз относительно оси абсцисс

б) $y = 2 \log_{\frac{1}{3}} x$

Шаг 1. Базовая функция

Рассматриваем $y = \log_{1/3} x$

• Основание $\frac{1}{3} < 1$ ⇒ функция убывает
• Область определения: $x > 0$
• Асимптота: $x = 0$
• Точка $(1,\ 0)$
• Пример: $\log_{1/3} 3 = -1$ ⇒ $(3,\ -1)$

Шаг 2. Умножение на 2

Функция: $y = 2 \cdot \log_{1/3} x$

• Значения функции удваиваются
• Происходит растяжение по вертикали от оси абсцисс

Шаг 3. Изменения графика

• $(1,\ 0)$ остаётся
• $(3,\ -1) \to (3,\ -2)$
• $(1/3,\ 1) \to (1/3,\ 2)$

Вывод: график $\log_{1/3} x$ растянут в 2 раза по вертикали, убывает круче

в) $y = 5 \log_8 x$

Шаг 1. Базовая функция

Рассматриваем $y = \log_8 x$

• Основание $8 > 1$ ⇒ функция возрастает
• Область определения: $x > 0$
• Асимптота: $x = 0$
• Точка $(1,\ 0)$
• $\log_8 8 = 1$ ⇒ $(8,\ 1)$

Шаг 2. Умножение на 5

Функция: $y = 5 \cdot \log_8 x$

• Значения функции увеличиваются в 5 раз
• График растянут по вертикали

Шаг 3. Изменения графика

• $(1,\ 0) \to (1,\ 0)$
• $(8,\ 1) \to (8,\ 5)$
• $(1/8,\ -1) \to (1/8,\ -5)$

Вывод: график возрастает и вытянут вверх/вниз в 5 раз

г) $y = \dfrac{1}{2} \log_{0{,}5} x$

Шаг 1. Базовая функция

Функция $y = \log_{0{,}5} x$

• Основание $0{,}5 < 1$ ⇒ функция убывает
• Область определения: $x > 0$
• Асимптота: $x = 0$
• $\log_{0.5} 2 = -1$ ⇒ $(2,\ -1)$

Шаг 2. Умножение на $\frac{1}{2}$

Функция: $y = \dfrac{1}{2} \cdot \log_{0.5} x$

• Значения функции уменьшаются в 2 раза по модулю
• Происходит сжатие по вертикали к оси абсцисс

Шаг 3. Изменения графика

• $(1,\ 0) \to (1,\ 0)$
• $(2,\ -1) \to (2,\ -0.5)$
• $(0.5,\ 1) \to (0.5,\ 0.5)$

Вывод: график стал менее крутым, прижат к оси $x$