ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \log_2(x + 4)$;

б) $y = \log_{\frac{1}{5}}(x — 3)$;

в) $y = \log_5(x — 1)$;

г) $y = \log_{0{,}3}(x + 5)$

Построить график функции:

а) $y = \log_2(x + 4)$;
Построим график функции $y = \log_2 x$;
Переместим его на 4 единицы влево:

б) $y = \log_{\frac{1}{5}}(x — 3)$;
Построим график функции $y = \log_{\frac{1}{5}} x$;
Переместим его на 3 единицы вправо:

в) $y = \log_5(x — 1)$;
Построим график функции $y = \log_5 x$;
Переместим его на 1 единицу вправо:

г) $y = \log_{0{,}3}(x + 5)$;
Построим график функции $y = \log_{0{,}3} x$;
Переместим его на 5 единиц влево:

а) $y = \log_2(x + 4)$

Шаг 1. Базовая функция

Функция $y = \log_2 x$:

• Основание $2 > 1$ ⇒ функция возрастает
• Область определения: $x > 0$
• Асимптота: вертикальная прямая $x = 0$
• Основная точка: $(1,\ 0)$, так как $\log_2 1 = 0$

Шаг 2. Замена аргумента: $x + 4$

• Заменили $x$ на $x + 4$, значит график сдвигается влево на 4 единицы
• Новая область определения: $x + 4 > 0$ ⇒ $x > -4$
• Новая асимптота: $x = -4$
• Новая точка: $x + 4 = 1$ ⇒ $x = -3$, тогда $y = \log_2 1 = 0$ ⇒ точка $(-3,\ 0)$

Итог:

График функции $y = \log_2(x + 4)$ — это график $\log_2 x$, сдвинутый на 4 единицы влево.

б) $y = \log_{\frac{1}{5}}(x — 3)$

Шаг 1. Базовая функция

Функция $y = \log_{\frac{1}{5}} x$:

• Основание $\frac{1}{5} < 1$ ⇒ функция убывает
• Область определения: $x > 0$
• Асимптота: $x = 0$
• Точка: $\log_{1/5} 1 = 0$ ⇒ $(1,\ 0)$

Шаг 2. Замена аргумента: $x — 3$

• Заменили $x$ на $x — 3$, значит график сдвигается на 3 единицы вправо
• Новая область определения: $x — 3 > 0$ ⇒ $x > 3$
• Асимптота: $x = 3$
• Новая точка: $x — 3 = 1$ ⇒ $x = 4$, $y = 0$ ⇒ точка $(4,\ 0)$

Итог:

График функции $y = \log_{\frac{1}{5}}(x — 3)$ — это убывающий график, полученный сдвигом $y = \log_{1/5} x$ вправо на 3 единицы.

в) $y = \log_5(x — 1)$

Шаг 1. Базовая функция

Функция $y = \log_5 x$:

• Основание $5 > 1$ ⇒ функция возрастает
• Область определения: $x > 0$
• Асимптота: $x = 0$
• Точка: $(1,\ 0)$

Шаг 2. Замена аргумента: $x — 1$

• Сдвиг графика вправо на 1 единицу
• Область определения: $x — 1 > 0$ ⇒ $x > 1$
• Асимптота: $x = 1$
• Новая точка: $x — 1 = 1$ ⇒ $x = 2$, $y = 0$ ⇒ точка $(2,\ 0)$

Итог:

График функции $y = \log_5(x — 1)$ — это логарифмическая возрастающая функция, сдвинутая вправо на 1 единицу.

г) $y = \log_{0.3}(x + 5)$

Шаг 1. Базовая функция

Функция $y = \log_{0.3} x$:

• Основание $0.3 < 1$ ⇒ функция убывает
• Область определения: $x > 0$
• Асимптота: $x = 0$
• Точка: $(1,\ 0)$

Шаг 2. Замена аргумента: $x + 5$

• Сдвиг графика влево на 5 единиц
• Область определения: $x + 5 > 0$ ⇒ $x > -5$
• Асимптота: $x = -5$
• Новая точка: $x + 5 = 1$ ⇒ $x = -4$, $y = 0$ ⇒ точка $(-4,\ 0)$

Итог:

График функции $y = \log_{0.3}(x + 5)$ — это убывающий график, сдвинутый влево на 5 единиц.