ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

а) $y = \log_5(x^2 — 5x + 6)$

Выражение имеет смысл при:

$x^2 — 5x + 6 > 0$

$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:

$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$

$(x — 2)(x — 3) > 0$

$x < 2$ или $x > 3$

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$

б) $y = \log_{\frac{2}{3}}(-x^2 — 5x + 14)$

Выражение имеет смысл при:

$-x^2 — 5x + 14 > 0$

$x^2 + 5x — 14 < 0$

$D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81$, тогда:

$x_1 = \frac{-5 — 9}{2} = -7$ и $x_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2$

$(x + 7)(x — 2) < 0$

$-7 < x < 2$

Ответ: $D(y) = (-7; 2)$

в) $y = \log_{0{,}2}(x^2 — 13x + 12)$

Выражение имеет смысл при:

$x^2 — 13x + 12 > 0$

$D = 13^2 — 4 \cdot 12 = 169 — 48 = 121$, тогда:

$x_1 = \frac{13 — 11}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{13 + 11}{2} = 12$

$(x — 1)(x — 12) > 0$

$x < 1$ или $x > 12$

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (12; +\infty)$

г) $y = \log_{0{,}2}(-x^2 + 8x + 9)$

Выражение имеет смысл при:

$-x^2 + 8x + 9 > 0$

$x^2 — 8x — 9 < 0$

$D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100$, тогда:

$x_1 = \frac{8 — 10}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9$

$(x + 1)(x — 9) < 0$

$-1 < x < 9$

Ответ: $D(y) = (-1; 9)$

а) $y = \log_5(x^2 — 5x + 6)$

Шаг 1: Условие существования логарифма

Логарифм определён только тогда, когда аргумент логарифма строго больше нуля:

$$x^2 — 5x + 6 > 0$$

Шаг 2: Решаем квадратное неравенство

Разложим на множители:

$$x^2 — 5x + 6 = (x — 2)(x — 3)$$

Решаем:

$$(x — 2)(x — 3) > 0$$

Шаг 3: Найдём корни

$$x_1 = 2,\quad x_2 = 3$$

Шаг 4: Знаки на промежутках

Числовая прямая:
Разбиваем на три промежутка:

• $(-\infty; 2)$: подставим $x = 0 \Rightarrow (+)(+) = +$
• $(2; 3)$: подставим $x = 2.5 \Rightarrow (+)(-) = —$
• $(3; +\infty)$: подставим $x = 4 \Rightarrow (+)(+) = +$

Нас интересуют только те промежутки, где выражение > 0:

$$x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$$

Ответ:

$$D(y) = (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$$

б) $y = \log_{\frac{2}{3}}(-x^2 — 5x + 14)$

Шаг 1: Условие

$$-x^2 — 5x + 14 > 0$$

Шаг 2: Домножим на -1 (не забываем поменять знак неравенства)

$$x^2 + 5x — 14 < 0$$

Шаг 3: Найдём корни квадратного уравнения

$$x^2 + 5x — 14 = 0$$ $$D = 25 + 56 = 81$$ $$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 \pm 9}{2} \Rightarrow x_1 = -7,\quad x_2 = 2$$

Шаг 4: Решение неравенства

$$(x + 7)(x — 2) < 0 \Rightarrow x \in (-7; 2)$$

Ответ:

$$D(y) = (-7; 2)$$

в) $y = \log_{0.2}(x^2 — 13x + 12)$

Шаг 1: Условие

$$x^2 — 13x + 12 > 0$$

Шаг 2: Найдём корни

$$D = 13^2 — 4 \cdot 12 = 169 — 48 = 121$$ $$x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{13 \pm 11}{2} \Rightarrow x_1 = 1,\quad x_2 = 12$$

Шаг 3: Решение неравенства

$$(x — 1)(x — 12) > 0$$

Это верно на промежутках:

$$x < 1\quad \text{или}\quad x > 12$$

Ответ:

$$D(y) = (-\infty; 1) \cup (12; +\infty)$$

г) $y = \log_{0.2}(-x^2 + 8x + 9)$

Шаг 1: Условие

$$-x^2 + 8x + 9 > 0$$

Шаг 2: Домножим на -1 (смена знака)

$$x^2 — 8x — 9 < 0$$

Шаг 3: Найдём корни

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$$ $$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2} \Rightarrow x_1 = -1,\quad x_2 = 9$$

Шаг 4: Решение неравенства

$$(x + 1)(x — 9) < 0 \Rightarrow x \in (-1; 9)$$

Ответ:

$$D(y) = (-1; 9)$$

Итоговые ответы:

а) $D(y) = (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$
б) $D(y) = (-7; 2)$
в) $D(y) = (-\infty; 1) \cup (12; +\infty)$
г) $D(y) = (-1; 9)$