ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Дано: $f(x)={\log }_{2}x$. Докажите, что выполняется следующее соотношение:

а) $f(2^x) = x$;

б) $f(4^x)+f(8^x)=5x$

Дана функция: $f(x) = \log_2 x$;
Доказать, что выполняется следующее соотношение:

а) $f(2^x) = x$;
$f(2^x) = \log_2 2^x = x$;
Что и требовалось доказать.

б) $f(4^x) + f(8^x) = 5x$;
$f(4^x) = \log_2 4^x = \log_2 2^{2x} = 2x$;
$f(8^x) = \log_2 8^x = \log_2 2^{3x} = 3x$;
$f(4^x) + f(8^x) = 2x + 3x = 5x$;
Что и требовалось доказать.

Дана функция:
$f(x) = \log_2 x$

Докажем, что выполняются следующие соотношения:

а) $f(2^x) = x$

Шаг 1. Подставим выражение $2^x$ в функцию $f(x)$:

$$f(2^x) = \log_2 (2^x)$$

Шаг 2. Используем основное логарифмическое тождество:

$$\log_a (a^x) = x$$

при условии, что $a > 0$ и $a \ne 1$, а также $x \in \mathbb{R}$.

Здесь:

• $a = 2$,
• $2 > 0$,
• $2 \ne 1$,
  — условия выполняются.

Шаг 3. Применим тождество:

$$\log_2 (2^x) = x$$

Шаг 4. Получаем:

$$f(2^x) = x$$

Вывод:
Что и требовалось доказать.

б) $f(4^x) + f(8^x) = 5x$

Шаг 1. Выразим функцию от $4^x$ через логарифм:

$$f(4^x) = \log_2 (4^x)$$

Шаг 2. Представим 4 как степень двойки:

$$4 = 2^2 \Rightarrow 4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$$

Шаг 3. Получим:

$$f(4^x) = \log_2 (2^{2x}) = 2x \quad \text{(по формуле } \log_a a^k = k \text{)}$$

Шаг 4. Аналогично выразим функцию от $8^x$:

$$f(8^x) = \log_2 (8^x)$$

Шаг 5. Представим 8 как степень двойки:

$$8 = 2^3 \Rightarrow 8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$$

Шаг 6. Получим:

$$f(8^x) = \log_2 (2^{3x}) = 3x$$

Шаг 7. Складываем оба выражения:

$$f(4^x) + f(8^x) = 2x + 3x = 5x$$

Вывод:
Что и требовалось доказать.