ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить графически уравнение:

а) $\log_2 x = -x + 1$;
$y = \log_2 x$ – логарифмическая функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 4 & 8 \\ \hline y & 0 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}$$

$y = -x + 1$ – уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: 1.

б) $\log_{\frac{1}{3}} x = 2x — 2$;
$y = \log_{\frac{1}{3}} x$ – логарифмическая функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 3 & 9 \\ \hline y & 0 & -1 & -2 \\ \hline \end{array}$$

$y = 2x — 2$ – уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & -2 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: 1.

в) $\log_9 x = -x + 1$;
$y = \log_9 x$ – логарифмическая функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 3 & 9 \\ \hline y & 0 & 0{,}5 & 1 \\ \hline \end{array}$$

$y = -x + 1$ – уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: 1.

г) $\log_{\frac{7}{3}} x = 4x — 4$;
$y = \log_{\frac{7}{3}} x$ – логарифмическая функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2\frac{1}{3} & 5\frac{4}{9} \\ \hline y & 0 & -1 & -2 \\ \hline \end{array}$$

$y = 4x — 4$ – уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & -4 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: 1.

а) Уравнение:

$$\log_2 x = -x + 1$$

Шаг 1: Область определения

• Логарифм определён при $x > 0$.
• Уравнение имеет смысл только при $x \in (0; +\infty)$.

Шаг 2: Построение графика $y = \log_2 x$

• Это логарифмическая функция с основанием $2 > 1$, она возрастает на $(0; +\infty)$
• Значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = \log_2 x \\ \hline 1 & 0 \\ 4 & 2 \\ 8 & 3 \\ \hline \end{array}$$

• Дополнительно:
  • $\log_2 2 = 1$
  • $\log_2 \frac{1}{2} = -1$

Шаг 3: Построение графика $y = -x + 1$

• Линейная функция: убывает, так как коэффициент при $x$ равен $-1$
• Значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = -x + 1 \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

• Прямая проходит через точки $(0; 1)$ и $(1; 0)$

Шаг 4: Поиск точки пересечения

• Сравним:
  • $\log_2 1 = 0$,
  • $-1 + 1 = 0$ → обе функции принимают значение 0 при $x = 1$

→ Единственная общая точка: $x = 1$

Шаг 5: Проверка графически

• Графики пересекаются в точке $(1; 0)$
• До и после этой точки:
  • $\log_2 x$ возрастает, $-x + 1$ убывает → пересекаются только один раз

Ответ:

$$\boxed{1}$$

б) Уравнение:

$$\log_{\frac{1}{3}} x = 2x — 2$$

Шаг 1: ОДЗ

• $x > 0$

Шаг 2: График $y = \log_{\frac{1}{3}} x$

• Основание $\frac{1}{3} \in (0; 1)$ → функция убывает
• Значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = \log_{\frac{1}{3}} x \\ \hline 1 & 0 \\ 3 & -1 \\ 9 & -2 \\ \hline \end{array}$$

• Дополнительно:
  • $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1$
  • При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$

Шаг 3: График $y = 2x — 2$

• Прямая, возрастает, так как коэффициент при $x$ положителен
• Значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = 2x — 2 \\ \hline 0 & -2 \\ 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 4: Поиск точки пересечения

• Проверим $x = 1$:
  • $\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$
  • $2 \cdot 1 — 2 = 0$

→ Обе функции равны при $x = 1$

Шаг 5: Проверка поведения функций

• $\log_{\frac{1}{3}} x$ убывает, $2x — 2$ возрастает → одна точка пересечения

Ответ:

$$\boxed{1}$$

в) Уравнение:

$$\log_9 x = -x + 1$$

Шаг 1: ОДЗ

• $x > 0$

Шаг 2: График $y = \log_9 x$

• Основание $9 > 1$ → функция возрастает
• Значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = \log_9 x \\ \hline 1 & 0 \\ 3 & 0.5 \\ 9 & 1 \\ \hline \end{array}$$

• При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$

Шаг 3: График $y = -x + 1$

• Прямая, убывает
• Значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = -x + 1 \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 4: Точка пересечения

• Проверим $x = 1$:
  • $\log_9 1 = 0$
  • $-1 + 1 = 0$

→ Пересекаются в точке $x = 1$

Шаг 5: Поведение функций

• $\log_9 x$ возрастает, $-x + 1$ убывает
  → единственная точка пересечения

Ответ:

$$\boxed{1}$$

г) Уравнение:

$$\log_{\frac{7}{3}} x = 4x — 4$$

Шаг 1: ОДЗ

• $x > 0$

Шаг 2: График $y = \log_{\frac{7}{3}} x$

• Основание $\frac{7}{3} > 1$ → логарифмическая функция возрастает
• Значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = \log_{\frac{7}{3}} x \\ \hline 1 & 0 \\ 2\frac{1}{3} & -1 \\ 5\frac{4}{9} & -2 \\ \hline \end{array}$$

• При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$

Шаг 3: График $y = 4x — 4$

• Прямая, возрастает быстро
• Значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = 4x — 4 \\ \hline 0 & -4 \\ 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 4: Проверка пересечения

• Проверим $x = 1$:
  • $\log_{\frac{7}{3}} 1 = 0$
  • $4 \cdot 1 — 4 = 0$

→ Пересекаются в точке $x = 1$

Шаг 5: Поведение

• Обе функции возрастают, но $\log_{\frac{7}{3}} x$ растёт медленно,
  а $4x — 4$ — быстро, поэтому пересекаются только один раз

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 1}}$$