ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить графически неравенство:

а) $\log_2 x \ge -x + 1$
$y = \log_2 x$ – логарифмическая функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 4 & 8 \\ \hline y & 0 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}$$

$y = -x + 1$ – уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x \in [1; +\infty)$

б) $\log_{\frac{7}{3}} x > 4x — 4$
$y = \log_{\frac{7}{3}} x$ – логарифмическая функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2\frac{1}{3} & 5\frac{4}{9} \\ \hline y & 0 & -1 & -2 \\ \hline \end{array}$$

$y = 4x — 4$ – уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & -4 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x \in (0; 1)$

в) $\log_9 x \le -x + 1$
$y = \log_9 x$ – логарифмическая функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 3 & 9 \\ \hline y & 0 & 0{,}5 & 1 \\ \hline \end{array}$$

$y = -x + 1$ – уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x \in (0; 1]$

г) $\log_{\frac{1}{3}} x < 2x — 2$
$y = \log_{\frac{1}{3}} x$ – логарифмическая функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 3 & 9 \\ \hline y & 0 & -1 & -2 \\ \hline \end{array}$$

$y = 2x — 2$ – уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & -2 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x \in (1; +\infty)$

а) Решить неравенство:

$$\log_2 x \geq -x + 1$$

Шаг 1. Определим область определения.

Логарифм $\log_2 x$ определён только при:

$$x > 0$$

Шаг 2. Построим график функции $y = \log_2 x$.

Функция возрастает, так как основание логарифма больше 1.
Подставим значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & \log_2 x \\ \hline 1 & 0 \\ 4 & 2 \\ 8 & 3 \\ \hline \end{array}$$

Также:

• При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$
• При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$

Шаг 3. Построим график $y = -x + 1$.

Это уравнение прямой с наклоном вниз.
Подставим точки:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 4. Найдём точку пересечения графиков.

При $x = 1$:

$$\log_2 1 = 0,\quad -1 + 1 = 0 \Rightarrow \text{точка пересечения: } (1; 0)$$

Шаг 5. Определим, где логарифм больше или равен прямой.

• Для $x < 1$:
  $\log_2 x < -x + 1$
• Для $x = 1$:
  $\log_2 x = -x + 1$
• Для $x > 1$:
  $\log_2 x > -x + 1$

Шаг 6. Учитываем ОДЗ $x > 0$, итог:

$$x \in [1; +\infty)$$

Ответ:

$$x \in [1; +\infty)$$

б) Решить неравенство:

$$\log_{\frac{7}{3}} x > 4x — 4$$

Шаг 1. ОДЗ

$$x > 0$$

Шаг 2. Построим $y = \log_{\frac{7}{3}} x$

Так как основание $\frac{7}{3} > 1$, функция возрастает.
Подставим значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 1 & 0 \\ 2{,}33 & -1 \\ 5{,}44 & -2 \\ \hline \end{array}$$

→ На первых участках значения убывают, значит масштаб логарифма слабый.

Шаг 3. Построим $y = 4x — 4$

Прямая, круто возрастает.

$$x = 0 \Rightarrow y = -4;\quad x = 1 \Rightarrow y = 0$$

Шаг 4. Найдём точку пересечения

При $x = 1$:

$$\log_{\frac{7}{3}} 1 = 0;\quad 4 \cdot 1 — 4 = 0$$

→ Пересекаются в точке $(1; 0)$

Шаг 5. Сравниваем значения

• Для $x < 1$:
  Логарифм выше прямой (логарифм убывает, прямая возрастает)
• Для $x > 1$:
  Логарифм растёт медленно, прямая быстро — логарифм ниже

Итог:

$$x \in (0; 1)$$

Ответ:

$$x \in (0; 1)$$

в) Решить неравенство:

$$\log_9 x \leq -x + 1$$

Шаг 1. ОДЗ

$$x > 0$$

Шаг 2. $y = \log_9 x$

Основание $9 > 1$, функция возрастает.

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 1 & 0 \\ 3 & 0{,}5 \\ 9 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3. Прямая $y = -x + 1$

$$x = 0 \Rightarrow y = 1;\quad x = 1 \Rightarrow y = 0$$

→ Прямая убывает

Шаг 4. Точка пересечения

При $x = 1$:

$$\log_9 1 = 0;\quad -1 + 1 = 0 \Rightarrow \text{пересекаются}$$

Шаг 5. Сравнение

• Для $x < 1$:
  Логарифм отрицателен, прямая положительна → неравенство выполняется
• Для $x > 1$:
  Логарифм положительный, прямая убывает → логарифм превышает прямую

Итог:

Неравенство выполняется при:

$$x \in (0; 1]$$

Ответ:

$$x \in (0; 1]$$

г)

Решить неравенство:

$$\log_{\frac{1}{3}} x < 2x — 2$$

Шаг 1. ОДЗ

$$x > 0$$

Шаг 2. $y = \log_{\frac{1}{3}} x$

Основание меньше 1 ⇒ функция убывает

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 1 & 0 \\ 3 & -1 \\ 9 & -2 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3. Прямая $y = 2x — 2$

$$x = 0 \Rightarrow y = -2;\quad x = 1 \Rightarrow y = 0$$

Прямая возрастает.

Шаг 4. Точка пересечения

При $x = 1$:

$$\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0;\quad 2 \cdot 1 — 2 = 0$$

→ Пересечение в точке $(1; 0)$

Шаг 5. Сравнение

• Для $x < 1$:
  Логарифм положительный, прямая отрицательная ⇒ логарифм больше прямой → не подходит
• Для $x > 1$:
  Логарифм отрицательный, прямая положительная ⇒ логарифм меньше прямой → подходит

Итог:

$$x \in (1; +\infty)$$

Ответ:

$$x \in (1; +\infty)$$