ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство:

а) $\log_3 x \leq 4 — x$;
Функция $f(x) = \log_3 x$ возрастает на $(0; +\infty)$;
Функция $g(x) = 4 — x$ убывает на $(0; +\infty)$;
Методом перебора найдём пересечение:

$$f(3) = \log_3 3 = 1;\quad g(3) = 4 — 3 = 1;$$

Ответ: $x \in (0; 3]$.

б) $\log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}$;
Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ убывает на $(0; +\infty)$;
Функция $g(x) = x + \frac{1}{2}$ возрастает на $(0; +\infty)$;
Методом перебора найдём пересечение:

$$f\left( \frac{1}{2} \right) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1;\quad g\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1;$$

Ответ: $x \in \left( \frac{1}{2}; +\infty \right)$.

в) $\log_5 x \geq 6 — x$;
Функция $f(x) = \log_5 x$ возрастает на $(0; +\infty)$;
Функция $g(x) = 6 — x$ убывает на $(0; +\infty)$;
Методом перебора найдём пересечение:

$$f(5) = \log_5 5 = 1;\quad g(5) = 6 — 5 = 1;$$

Ответ: $x \in [5; +\infty)$.

г) $\log_{\frac{1}{3}} x > x + \frac{2}{3}$;
Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ убывает на $(0; +\infty)$;
Функция $g(x) = x + \frac{2}{3}$ возрастает на $(0; +\infty)$;
Методом перебора найдём пересечение:

$$f\left( \frac{1}{3} \right) = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1;\quad g\left( \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1;$$

Ответ: $x \in \left( 0; \frac{1}{3} \right)$.

а)

Решить неравенство:

$$\log_3 x \leq 4 — x$$

Шаг 1. Область определения

Функция $\log_3 x$ определена при $x > 0$

Шаг 2. Исследуем поведение функций

Функция $f(x) = \log_3 x$ — возрастает на $(0; +\infty)$, так как $3 > 1$
Функция $g(x) = 4 — x$ — убывает на всей числовой прямой

Шаг 3. Графическое пересечение

Найдём точку, в которой графики пересекаются, подставим $x = 3$:

$$\log_3 3 = 1 \quad \text{и} \quad 4 — 3 = 1$$

Они равны ⇒ графики пересекаются в точке $x = 3$

Шаг 4. Сравнение значений до и после точки пересечения

• При $x < 3$:
  $\log_3 x < 4 — x$
• При $x = 3$:
  $\log_3 x = 4 — x$
• При $x > 3$:
  $\log_3 x > 4 — x$ — нарушает неравенство

Шаг 5. Итог

Учитываем ОДЗ и область, где неравенство выполняется:

$$x \in (0; 3]$$

Ответ:

$$x \in (0; 3]$$

б)

Решить неравенство:

$$\log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}$$

Шаг 1. Область определения

$$x > 0$$

Шаг 2. Поведение функций

Функция $\log_{\frac{1}{2}} x$ убывает на $(0; +\infty)$, так как основание меньше 1
Функция $x + \frac{1}{2}$ — линейная, возрастает

Шаг 3. Найдём точку пересечения

Подставим $x = \frac{1}{2}$:

$$\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right) = 1,\quad \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

Точка пересечения — $x = \frac{1}{2}$

Шаг 4. Сравнение функций

• При $x < \frac{1}{2}$:
  $\log_{\frac{1}{2}} x > x + \frac{1}{2}$ — не подходит
• При $x = \frac{1}{2}$:
  Равенство
• При $x > \frac{1}{2}$:
  $\log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}$ — неравенство выполняется

Шаг 5. Вывод

$$x \in \left( \frac{1}{2}; +\infty \right)$$

Ответ:

$$x \in \left( \frac{1}{2}; +\infty \right)$$

в)

Решить неравенство:

$$\log_5 x \geq 6 — x$$

Шаг 1. Область определения

$$x > 0$$

Шаг 2. Поведение функций

$\log_5 x$ — возрастающая функция
$6 — x$ — убывающая

Шаг 3. Подставим $x = 5$:

$$\log_5 5 = 1,\quad 6 — 5 = 1$$

Пересекаются в точке $x = 5$

Шаг 4. Сравнение значений

• При $x < 5$:
  $\log_5 x < 6 — x$ — не подходит
• При $x = 5$:
  Равенство
• При $x > 5$:
  $\log_5 x > 6 — x$ — подходит

Шаг 5. Вывод

$$x \in [5; +\infty)$$

Ответ:

$$x \in [5; +\infty)$$

г)

Решить неравенство:

$$\log_{\frac{1}{3}} x > x + \frac{2}{3}$$

Шаг 1. Область определения

$$x > 0$$

Шаг 2. Поведение функций

$\log_{\frac{1}{3}} x$ — убывает
$x + \frac{2}{3}$ — возрастает

Шаг 3. Найдём точку пересечения

Подставим $x = \frac{1}{3}$:

$$\log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right) = 1,\quad \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$$

Пересекаются при $x = \frac{1}{3}$

Шаг 4. Сравнение

• При $x < \frac{1}{3}$:
  Логарифм выше, прямая ниже ⇒ неравенство выполняется
• При $x = \frac{1}{3}$:
  Равенство
• При $x > \frac{1}{3}$:
  Логарифм меньше ⇒ не выполняется

Шаг 5. Итог

$$x \in \left( 0; \frac{1}{3} \right)$$

Ответ:

$$x \in \left( 0; \frac{1}{3} \right)$$