ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях аргумента график заданной логарифмической функции лежит ниже графика заданной линейной функции:

а) $y = \log_4(x — 1)$, $y = -x + 2$

Функция $y = \log_4(x — 1)$ определена при $x — 1 > 0$, то есть при $x > 1$
Следовательно, область определения: $x \in (1; +\infty)$

Функция $y = \log_4(x — 1)$ возрастает на $(1; +\infty)$
Функция $y = -x + 2$ убывает на $(1; +\infty)$

Найдём точку пересечения методом подстановки:
$y_1(2) = \log_4(2 — 1) = \log_4 1 = 0$
$y_2(2) = -2 + 2 = 0$

Графики пересекаются при $x = 2$

Поскольку логарифм возрастает, а прямая убывает, то:

• при $x < 2$ (в пределах $(1; 2)$) логарифм лежит ниже прямой
• при $x > 2$ логарифм выше прямой

Ответ: $x \in (1; 2)$

б) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$, $y = 3x — 2$

Функция $y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$ определена при $x + 4 > 0$, то есть $x > -4$
Область определения: $x \in (-4; +\infty)$

Функция $y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$ убывает на $(-4; +\infty)$, так как основание логарифма меньше 1
Функция $y = 3x — 2$ возрастает на всей числовой прямой

Найдём точку пересечения:
$y_1(0) = \log_{\frac{1}{2}}(0 + 4) = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$
$y_2(0) = 3 \cdot 0 — 2 = -2$

Пересекаются при $x = 0$

Поскольку логарифм убывает, а прямая возрастает, то:

• при $x > 0$ логарифм ниже прямой
• при $x < 0$ логарифм выше прямой

Ответ: $x \in (0; +\infty)$

а)

Условие:
Найти такие значения аргумента $x$, при которых график логарифмической функции

$$y = \log_4(x — 1)$$

лежит ниже графика линейной функции

$$y = -x + 2$$

Шаг 1: Область определения логарифма

Выражение под логарифмом: $x — 1$
Чтобы логарифм был определён:

$$x — 1 > 0 \Rightarrow x > 1$$

Значит, рассматриваем $x \in (1; +\infty)$

Шаг 2: Свойства функций

Функция $y = \log_4(x — 1)$:
– основание логарифма $4 > 1$, значит функция возрастает
– определена на $x > 1$

Функция $y = -x + 2$:
– линейная, угловой коэффициент отрицательный
– следовательно, функция убывает на всей числовой прямой

Шаг 3: Найдём точку пересечения графиков

Подставим $x = 2$:

$$y_1(2) = \log_4(2 — 1) = \log_4 1 = 0$$ $$y_2(2) = -2 + 2 = 0$$

Значит, графики пересекаются при $x = 2$

Шаг 4: Сравнение значений слева и справа от точки пересечения

• При $x < 2$, логарифм ещё «не успел» подняться, а прямая уже выше
  Значит:

  $$\log_4(x — 1) < -x + 2$$

• При $x > 2$, логарифм выше прямой
  Значит:

  $$\log_4(x — 1) > -x + 2$$

Шаг 5: Что требуется

Найти, при каких $x$ логарифм ниже линейной функции:

$$\log_4(x — 1) < -x + 2$$

Из предыдущего шага: это верно при

$$x \in (1; 2)$$

Ответ:

$$x \in (1; 2)$$

б)

Условие:
Найти такие значения аргумента $x$, при которых график логарифмической функции

$$y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$$

лежит ниже графика линейной функции

$$y = 3x — 2$$

Шаг 1: Область определения логарифма

Подлогарифмическое выражение: $x + 4$
Для определения логарифма:

$$x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4$$

Значит, область рассмотрения: $x \in (-4; +\infty)$

Шаг 2: Свойства функций

Функция $y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$:
– основание $\frac{1}{2} < 1$, значит функция убывает
– определена при $x > -4$

Функция $y = 3x — 2$:
– линейная, угловой коэффициент положительный
– значит функция возрастает

Шаг 3: Найдём точку пересечения графиков

Подставим $x = 0$:

$$y_1(0) = \log_{\frac{1}{2}}(0 + 4) = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$$ $$y_2(0) = 3 \cdot 0 — 2 = -2$$

Значит, графики пересекаются при $x = 0$

Шаг 4: Сравнение функций слева и справа от точки пересечения

• При $x < 0$:
  логарифмическая функция выше
  $\log_{\frac{1}{2}}(x + 4) > 3x — 2$
• При $x > 0$:
  логарифмическая функция ниже
  $\log_{\frac{1}{2}}(x + 4) < 3x — 2$

Шаг 5: Что требуется

Найти значения $x$, при которых логарифм ниже линейной функции:

$$\log_{\frac{1}{2}}(x + 4) < 3x — 2$$

Из предыдущего шага видно: это верно при

$$x \in (0; +\infty)$$

Ответ:

$$x \in (0; +\infty)$$