ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Расположить числа в порядке возрастания:

а) $\log_2 0{,}7; \log_2 2{,}6; \log_2 0{,}1; \log_2 \dfrac{1}{6}; \log_2 3{,}7;$

Основание логарифма больше единицы:
$2 > 1;$

Функция возрастает:
$0{,}1 < \dfrac{1}{6} < 0{,}7 < 2{,}6 < 3{,}7;$

$\log_2 0{,}1 < \log_2 \dfrac{1}{6} < \log_2 0{,}7 < \log_2 2{,}6 < \log_2 3{,}7;$

Ответ: $$$\log_2 0{,}1; \log_2 \dfrac{1}{6}; \log_2 0{,}7; \log_2 2{,}6; \log_2 3{,}7.$

б) $\log_{0{,}3} 17; \log_{0{,}3} 2{,}7; \log_{0{,}3} \dfrac{1}{2}; \log_{0{,}3} 3; \log_{0{,}3} \dfrac{2}{3};$

Основание логарифма меньше единицы:
$0{,}3 < 1;$

Функция убывает:
$\dfrac{1}{2} < \dfrac{2}{3} < 2{,}7 < 3 < 17;$

$\log_{0{,}3} \dfrac{1}{2} > \log_{0{,}3} \dfrac{2}{3} > \log_{0{,}3} 2{,}7 > \log_{0{,}3} 3 > \log_{0{,}3} 17;$

Ответ: ${}_{}$$\log_{0{,}3} 17; \log_{0{,}3} 3; \log_{0{,}3} 2{,}7; \log_{0{,}3} \dfrac{2}{3}; \log_{0{,}3} \dfrac{1}{2}.$

а)

Упорядочить:

$$\log_2 0{,}7;\quad \log_2 2{,}6;\quad \log_2 0{,}1;\quad \log_2 \frac{1}{6};\quad \log_2 3{,}7$$

Шаг 1. Определим основание логарифма:

$$2 > 1 \quad \Rightarrow \text{логарифмическая функция возрастающая}$$

Это означает:
Если $a < b$, то $\log_2 a < \log_2 b$

Шаг 2. Расставим аргументы по возрастанию:

$$0{,}1 < \frac{1}{6} \approx 0{,}166 < 0{,}7 < 2{,}6 < 3{,}7$$

Шаг 3. Применим свойство монотонности:

$$\log_2 0{,}1 < \log_2 \frac{1}{6} < \log_2 0{,}7 < \log_2 2{,}6 < \log_2 3{,}7$$

Ответ:

$$\log_2 0{,}1;\quad \log_2 \frac{1}{6};\quad \log_2 0{,}7;\quad \log_2 2{,}6;\quad \log_2 3{,}7$$

б)

Упорядочить:

$${\log }_{\mathrm{0,3}}17;{\log }_{\mathrm{0,3}}\mathrm{2,7};{\log }_{\mathrm{0,3}}\frac{1}{2};{\log }_{\mathrm{0,3}}3;{\log }_{\mathrm{0,3}}\frac{2}{3}$$

Шаг 1. Определим основание логарифма:

$$0{,}3 < 1 \quad \Rightarrow \text{логарифмическая функция убывающая}$$

Это означает:
Если $a < b$, то $\log_{0{,}3} a > \log_{0{,}3} b$

Шаг 2. Расставим аргументы по возрастанию:

$$\frac{1}{2} = 0{,}5 < \frac{2}{3} \approx 0{,}666 < 2{,}7 < 3 < 17$$

Шаг 3. Применим свойство убывающей функции:

$${\log }_{\mathrm{0,3}}\frac{1}{2}>{\log }_{\mathrm{0,3}}\frac{2}{3}>{\log }_{\mathrm{0,3}}\mathrm{2,7}>{\log }_{\mathrm{0,3}}3>{\log }_{\mathrm{0,3}}17$$

Шаг 4. Запишем в порядке возрастания:

Так как убывающая функция «переворачивает» порядок аргументов, в порядке возрастания логарифмов будет:

$$\log_{0{,}3} 17;\quad \log_{0{,}3} 3;\quad \log_{0{,}3} 2{,}7;\quad \log_{0{,}3} \frac{2}{3};\quad \log_{0{,}3} \frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\log_{0{,}3} 17;\quad \log_{0{,}3} 3;\quad \log_{0{,}3} 2{,}7;\quad \log_{0{,}3} \frac{2}{3};\quad \log_{0{,}3} \frac{1}{2}$$