ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$\log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot \log_3 9 : \log_4 \frac{1}{4} = \frac{\log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \cdot \log_3 3^2}{\log_4 4^{-1}} = \frac{-2 \cdot 2}{-1} = 4;$$

Ответ: 4.

б)

$$\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} : \log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} \cdot \log_5 \sqrt{5} = \frac{\log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^{2+1} \cdot \log_5 5^{\frac{1}{2}}}{\log_{\frac{1}{7}} \left(\frac{1}{7}\right)^{-2}} = \frac{3 \cdot 0{,}5}{-1} = -1{,}5;$$

Ответ: $-1{,}5$.

в)

$$\log_3 81 : \log_{0{,}5} 2 \cdot \log_5 125 = \frac{\log_3 3^4 \cdot \log_5 5^3}{\log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}} = \frac{4 \cdot 3}{-1} = -12;$$

Ответ: $-12$.

г)

$$\log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5} \cdot \log_{0{,}3} \sqrt{0{,}3} : \lg 10\sqrt{0{,}1} = \frac{\log_{\sqrt{5}} 5^{2+1} \cdot \log_{0{,}3} 0{,}3^{\frac{1}{2}}}{\lg 10^{1 — \frac{1}{2}}} = \frac{3 \cdot 0{,}5}{0{,}5} = 3;$$

Ответ: 3.

а)

$$\log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot \log_3 9 : \log_4 \frac{1}{4}$$

Шаг 1. Представим все выражения в виде степеней оснований:

• $4 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$, так как $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$
• $9 = 3^2$
• $\dfrac{1}{4} = 4^{-1}$

Шаг 2. Запишем логарифмы как степени:

• $\log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = -2$
• $\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$
• $\log_4 \frac{1}{4} = \log_4 4^{-1} = -1$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{(-2) \cdot 2}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4$$

Ответ: $4$

б)

$$\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} : \log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} \cdot \log_5 \sqrt{5}$$

Шаг 1. Раскроем выражения:

• $3\sqrt{3} = 3 \cdot 3^{1/2} = 3^{1 + 1/2} = 3^{3/2} = (\sqrt{3})^3$
  → $\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^3 = 3$
• $\sqrt{49} = 7$, а $\frac{1}{7} = (7)^{-1}$, поэтому
  $\log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} = \log_{\frac{1}{7}} 7^{1/2} = \log_{\frac{1}{7}} \left( \left(\frac{1}{7}\right)^{-1/2} \right) = -\frac{1}{2}$

ИЛИ проще:
$\log_{\frac{1}{7}} 7^{1/2} = \frac{1}{2} \cdot \log_{\frac{1}{7}} 7 = \frac{1}{2} \cdot (-1) = -0{,}5$

• $\log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{1/2} = \frac{1}{2}$

Шаг 2. Подставим:

$$\frac{3 \cdot 0{,}5}{-1} = -1{,}5$$

$$\frac{3 \cdot 0{,}5}{-1} = -1{,}5$$

Ответ: $-1{,}5$

в)

$$\log_3 81 : \log_{0{,}5} 2 \cdot \log_5 125$$

Шаг 1. Раскроем логарифмы:

• $81 = 3^4 \Rightarrow \log_3 81 = 4$
• $125 = 5^3 \Rightarrow \log_5 125 = 3$
• $\log_{0{,}5} 2 = \log_{\frac{1}{2}} 2 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \right) = -1$

Шаг 2. Подставим:

$$\frac{4 \cdot 3}{-1} = \frac{12}{-1} = -12$$

Ответ: $-12$

г)

$$\log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5} \cdot \log_{0{,}3} \sqrt{0{,}3} : \lg 10\sqrt{0{,}1}$$

Шаг 1. Раскроем выражения:

• $5\sqrt{5} = 5 \cdot 5^{1/2} = 5^{3/2} = (\sqrt{5})^3$,
  $\log_{\sqrt{5}} (5\sqrt{5}) = \log_{\sqrt{5}} (\sqrt{5})^3 = 3$
• $\sqrt{0{,}3} = 0{,}3^{1/2} \Rightarrow \log_{0{,}3} \sqrt{0{,}3} = \frac{1}{2} \cdot \log_{0{,}3} 0{,}3 = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0{,}5$
• $10 \cdot \sqrt{0{,}1} = 10 \cdot 0{,}1^{1/2} = 10^{1} \cdot 10^{-1/2} = 10^{1 — 1/2} = 10^{1/2}$
  $\lg (10\sqrt{0{,}1}) = \lg (10^{1/2}) = \frac{1}{2}$

Шаг 2. Подставим:

$$\frac{3 \cdot 0{,}5}{0{,}5} = \frac{1{,}5}{0{,}5} = 3$$

Ответ: $3$