ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$\frac{\log_7 25}{\log_7 5} = \frac{\log_7 5^2}{\log_7 5} = \frac{2\log_7 5}{\log_7 5} = 2;$$

Ответ: 2.

б)

$$\frac{\log_{\frac{1}{2}} 9}{\log_{\frac{1}{2}} 27} = \frac{\log_{\frac{1}{2}} 3^2}{\log_{\frac{1}{2}} 3^3} = \frac{2\log_{\frac{1}{2}} 3}{3\log_{\frac{1}{2}} 3} = \frac{2}{3};$$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

в)

$$\frac{\log_4 36}{\log_4 6} = \frac{\log_4 6^2}{\log_4 6} = \frac{2\log_4 6}{\log_4 6} = 2;$$

Ответ: 2.

г)

$$\frac{\log_{0{,}3} 32}{\log_{0{,}3} 64} = \frac{\log_{0{,}3} 2^5}{\log_{0{,}3} 2^6} = \frac{5\log_{0{,}3} 2}{6\log_{0{,}3} 2} = \frac{5}{6};$$

Ответ: $\frac{5}{6}$.

а)

$$\frac{\log_7 25}{\log_7 5}$$

Шаг 1. Представим 25 как степень числа 5:
$25 = 5^2$

Шаг 2. Запишем числитель с использованием свойства логарифма степени:

$$\log_7 25 = \log_7 (5^2) = 2 \cdot \log_7 5$$

Шаг 3. Подставим в дробь:

$$\frac{2 \cdot \log_7 5}{\log_7 5}$$

Шаг 4. Сократим одинаковые множители:

$$\frac{2 \cdot \log_7 5}{\log_7 5} = 2$$

Ответ: $2$

б)

$$\frac{\log_{\frac{1}{2}} 9}{\log_{\frac{1}{2}} 27}$$

Шаг 1. Представим 9 и 27 как степени числа 3:
$9 = 3^2$, $27 = 3^3$

Шаг 2. Запишем числитель и знаменатель:

$$\log_{\frac{1}{2}} 9 = \log_{\frac{1}{2}} (3^2) = 2 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 3$$ $$\log_{\frac{1}{2}} 27 = \log_{\frac{1}{2}} (3^3) = 3 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 3$$

Шаг 3. Подставим в дробь:

$$\frac{2 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 3}{3 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 3}$$

Шаг 4. Сократим одинаковые множители:

$$\frac{2}{3}$$

Ответ: $\frac{2}{3}$

в)

$$\frac{\log_4 36}{\log_4 6}$$

Шаг 1. Представим 36 как $6^2$

Шаг 2. Используем свойство логарифма степени:

$$\log_4 36 = \log_4 (6^2) = 2 \cdot \log_4 6$$

Шаг 3. Подставим в выражение:

$$\frac{2 \cdot \log_4 6}{\log_4 6}$$

Шаг 4. Сократим одинаковые множители:

$$\frac{2 \cdot \log_4 6}{\log_4 6} = 2$$

Ответ: $2$

г)

$$\frac{\log_{0{,}3} 32}{\log_{0{,}3} 64}$$

Шаг 1. Представим 32 и 64 как степени числа 2:
$32 = 2^5$, $64 = 2^6$

Шаг 2. Преобразуем числитель и знаменатель:

$$\log_{0{,}3} 32 = \log_{0{,}3} (2^5) = 5 \cdot \log_{0{,}3} 2$$ $$\log_{0{,}3} 64 = \log_{0{,}3} (2^6) = 6 \cdot \log_{0{,}3} 2$$

Шаг 3. Подставим в выражение:

$$\frac{5 \cdot \log_{0{,}3} 2}{6 \cdot \log_{0{,}3} 2}$$

Шаг 4. Сократим одинаковые множители:

$$\frac{5}{6}$$

Ответ: $\frac{5}{6}$