ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\frac{\frac{1}{2}\log_3 64 — 2\log_3 2}{\log_3 2} = \frac{\log_3 64^{\frac{1}{2}} — \log_3 2^2}{\log_3 2} = \frac{\log_3 \frac{8}{4}}{\log_3 2} = \frac{\log_3 2}{\log_3 2} = 1;$$

б)

$$\frac{2\log_{0{,}5} 2 + \log_{0{,}5} \sqrt{10}}{\log_{0{,}5} 10 — \log_{0{,}5} \sqrt{10} + \log_{0{,}5} 4} = \frac{\log_{0{,}5} 2^2 + \log_{0{,}5} \sqrt{10}}{\log_{0{,}5} \frac{10}{\sqrt{10}} + \log_{0{,}5} 4} = \frac{\log_{0{,}5} 4\sqrt{10}}{\log_{0{,}5} 4\sqrt{10}} = 1;$$

в)

$$\frac{\log_6 12 + 2\log_6 2}{\frac{1}{3}\log_6 27 + 4\log_6 2} = \frac{\log_6 12 + \log_6 2^2}{\log_6 27^{\frac{1}{3}} + \log_6 2^4} = \frac{\log_6 (12 \cdot 4)}{\log_6 (3 \cdot 16)} = \frac{\log_6 48}{\log_6 48} = 1;$$

г)

$$\frac{{\log }_{\mathrm{0,3}}16}{{\log }_{\mathrm{0,3}}15-{\log }_{\mathrm{0,3}}30}$$

Вычислить значение:

а)

$$\frac{\frac{1}{2}\log_3 64 — 2\log_3 2}{\log_3 2} = \frac{\log_3 64^{\frac{1}{2}} — \log_3 2^2}{\log_3 2} = \frac{\log_3 \frac{8}{4}}{\log_3 2} = \frac{\log_3 2}{\log_3 2} = 1;$$

Ответ: 1.

б)

$$\frac{2\log_{0{,}5} 2 + \log_{0{,}5} \sqrt{10}}{\log_{0{,}5} 10 — \log_{0{,}5} \sqrt{10} + \log_{0{,}5} 4} = \frac{\log_{0{,}5} 2^2 + \log_{0{,}5} \sqrt{10}}{\log_{0{,}5} \frac{10}{\sqrt{10}} + \log_{0{,}5} 4} = \frac{\log_{0{,}5} 4\sqrt{10}}{\log_{0{,}5} 4\sqrt{10}} = 1;$$

Ответ: 1.

в)

$$\frac{\log_6 12 + 2\log_6 2}{\frac{1}{3}\log_6 27 + 4\log_6 2} = \frac{\log_6 12 + \log_6 2^2}{\log_6 27^{\frac{1}{3}} + \log_6 2^4} = \frac{\log_6 (12 \cdot 4)}{\log_6 (3 \cdot 16)} = \frac{\log_6 48}{\log_6 48} = 1;$$

Ответ: 1.

г)

$$\frac{\log_{0{,}3} 16}{\log_{0{,}3} 15 — \log_{0{,}3} 30} = \frac{\log_{0{,}3} 16}{\log_{0{,}3} \frac{15}{30}} = \frac{\log_{0{,}3} 16}{\log_{0{,}3} \frac{1}{2}} = \frac{\log_{0{,}3} 2^4}{\log_{0{,}3} 2^{-1}} = \frac{4\log_{0{,}3} 2}{-\log_{0{,}3} 2} = -4;$$

Ответ: $-4$.

а)

$$\frac{\frac{1}{2}\log_3 64 — 2\log_3 2}{\log_3 2}$$

Шаг 1. Преобразуем логарифм:

$$\frac{1}{2} \log_3 64 = \log_3 \sqrt{64} = \log_3 8$$

(так как $\sqrt{64} = 8$)

Шаг 2. Представим 8 как $2^3$:

$$\log_3 8 = \log_3 (2^3) = 3 \log_3 2$$

Шаг 3. Тогда числитель:

$$\frac{1}{2} \log_3 64 — 2 \log_3 2 = 3 \log_3 2 — 2 \log_3 2 = \log_3 2$$

Шаг 4. Подставим в дробь:

$$\frac{\log_3 2}{\log_3 2} = 1$$

Ответ: $1$

б)

$$\frac{2\log_{0{,}5} 2 + \log_{0{,}5} \sqrt{10}}{\log_{0{,}5} 10 — \log_{0{,}5} \sqrt{10} + \log_{0{,}5} 4}$$

Шаг 1. Упростим числитель:

$$2\log_{0{,}5} 2 = \log_{0{,}5} 2^2 = \log_{0{,}5} 4$$ $$\log_{0{,}5} \sqrt{10} = \log_{0{,}5} 10^{1/2}$$

Значит числитель:

$$\log_{0{,}5} 4 + \log_{0{,}5} 10^{1/2} = \log_{0{,}5} (4 \cdot \sqrt{10}) = \log_{0{,}5} (4\sqrt{10})$$

Шаг 2. Упростим знаменатель:

$$\log_{0{,}5} 10 — \log_{0{,}5} \sqrt{10} = \log_{0{,}5} \left( \frac{10}{\sqrt{10}} \right) = \log_{0{,}5} (\sqrt{10})$$

(потому что $\frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$)

$$\log_{0{,}5} \sqrt{10} + \log_{0{,}5} 4 = \log_{0{,}5} (4 \sqrt{10})$$

Шаг 3. И числитель, и знаменатель равны:

$$\frac{\log_{0{,}5} (4\sqrt{10})}{\log_{0{,}5} (4\sqrt{10})} = 1$$

Ответ: $1$

в)

$$\frac{\log_6 12 + 2\log_6 2}{\frac{1}{3}\log_6 27 + 4\log_6 2}$$

Шаг 1. Преобразуем числитель:

$$2 \log_6 2 = \log_6 2^2 = \log_6 4$$ $$\log_6 12 + \log_6 4 = \log_6 (12 \cdot 4) = \log_6 48$$

Шаг 2. Преобразуем знаменатель:

$$\frac{1}{3} \log_6 27 = \log_6 27^{1/3} = \log_6 3$$

(так как $27^{1/3} = 3$)

$$4 \log_6 2 = \log_6 2^4 = \log_6 16$$ $$\log_6 3 + \log_6 16 = \log_6 (3 \cdot 16) = \log_6 48$$

Шаг 3. Тогда:

$$\frac{\log_6 48}{\log_6 48} = 1$$

Ответ: $1$

г)

$$\frac{\log_{0{,}3} 16}{\log_{0{,}3} 15 — \log_{0{,}3} 30}$$

Шаг 1. Упростим знаменатель:

$$\log_{0{,}3} 15 — \log_{0{,}3} 30 = \log_{0{,}3} \left( \frac{15}{30} \right) = \log_{0{,}3} \left( \frac{1}{2} \right)$$

Шаг 2. Преобразуем числитель и знаменатель через степень двойки:

$$\log_{0{,}3} 16 = \log_{0{,}3} 2^4 = 4 \log_{0{,}3} 2$$ $$\log_{0{,}3} \left( \frac{1}{2} \right) = \log_{0{,}3} 2^{-1} = — \log_{0{,}3} 2$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{4 \log_{0{,}3} 2}{- \log_{0{,}3} 2} = -4$$

Ответ: $-4$