ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\log_3 2 = a$ и $\log_3 5 = b$;
Выразить через $a$ и $b$:

а) $\log_3 10 = \log_3(2 \cdot 5) = \log_3 2 + \log_3 5 = a + b$;
Ответ: $a + b$.

б) $\log_3 20 = \log_3(4 \cdot 5) = \log_3(2^2 \cdot 5) = 2\log_3 2 + \log_3 5 = 2a + b$;
Ответ: $2a + b$.

в) $\log_3 50 = \log_3(2 \cdot 25) = \log_3(2 \cdot 5^2) = \log_3 2 + 2\log_3 5 = a + 2b$;
Ответ: $a + 2b$.

г) $\log_3 200 = \log_3(8 \cdot 25) = \log_3(2^3 \cdot 5^2) = 3\log_3 2 + 2\log_3 5 = 3a + 2b$;
Ответ: $3a + 2b$.

Известно, что $\log_3 2 = a$ и $\log_3 5 = b$.
Нужно выразить через $a$ и $b$ логарифмы различных чисел по основанию 3.

а) $\log_3 10$

Шаг 1. Раскладываем 10 на простые множители:
$10 = 2 \cdot 5$

Шаг 2. Применяем логарифм произведения:
$\log_3(2 \cdot 5) = \log_3 2 + \log_3 5$

Шаг 3. Подставляем значения:
$\log_3 2 = a$, $\log_3 5 = b$

Ответ:
$\log_3 10 = a + b$

б) $\log_3 20$

Шаг 1. Разложим число 20 на простые множители:
$20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$

Шаг 2. Применяем логарифм произведения:
$\log_3(2^2 \cdot 5) = \log_3 2^2 + \log_3 5$

Шаг 3. Применяем логарифм степени:
$\log_3 2^2 = 2 \log_3 2$

Шаг 4. Подставляем обозначения:
$\log_3 2 = a$, $\log_3 5 = b$

Ответ:
$\log_3 20 = 2a + b$

в) $\log_3 50$

Шаг 1. Разложим 50:
$50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$

Шаг 2. Применяем логарифм произведения:
$\log_3(2 \cdot 5^2) = \log_3 2 + \log_3 5^2$

Шаг 3. Применяем логарифм степени:
$\log_3 5^2 = 2 \log_3 5$

Шаг 4. Подставляем обозначения:
$\log_3 2 = a$, $\log_3 5 = b$

Ответ:
$\log_3 50 = a + 2b$

г) $\log_3 200$

Шаг 1. Разложим 200 на простые множители:
$200 = 8 \cdot 25 = 2^3 \cdot 5^2$

Шаг 2. Применяем логарифм произведения:
$\log_3(2^3 \cdot 5^2) = \log_3 2^3 + \log_3 5^2$

Шаг 3. Применяем логарифм степени:
$\log_3 2^3 = 3 \log_3 2$,
$\log_3 5^2 = 2 \log_3 5$

Шаг 4. Подставляем обозначения:
$\log_3 2 = a$, $\log_3 5 = b$

Ответ:
$\log_3 200 = 3a + 2b$

Окончательные ответы:

а) $\log_3 10 = a + b$
б) $\log_3 20 = 2a + b$
в) $\log_3 50 = a + 2b$
г) $\log_3 200 = 3a + 2b$