ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\log_{\frac{1}{2}} 7 = c$ и $\log_{\frac{1}{2}} 3 = a$;
Выразить через $c$ и $a$:

а) $\log_{\frac{1}{2}} 21 = \log_{\frac{1}{2}}(7 \cdot 3) = \log_{\frac{1}{2}} 7 + \log_{\frac{1}{2}} 3 = c + a$;
Ответ: $c + a$.

б) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{42} = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3}\right) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} — \log_{\frac{1}{2}} 7 — \log_{\frac{1}{2}} 3 = 1 — c — a$;
Ответ: $1 — c — a$.

в) $\log_{\frac{1}{2}} 147 = \log_{\frac{1}{2}}(49 \cdot 3) = \log_{\frac{1}{2}}(7^2 \cdot 3) = 2\log_{\frac{1}{2}} 7 + \log_{\frac{1}{2}} 3 = 2c + a$;
Ответ: $2c + a$.

г) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{49}{\sqrt{3}} = \log_{\frac{1}{2}} \frac{7^2}{3^{1/2}} = 2\log_{\frac{1}{2}} 7 — \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}} 3 = 2c — 0{,}5a$;
Ответ: $2c — 0{,}5a$.

Известно:

$$\log_{\frac{1}{2}} 7 = c, \quad \log_{\frac{1}{2}} 3 = a$$

Требуется выразить логарифмы различных чисел через $c$ и $a$.

а) $\log_{\frac{1}{2}} 21$

Шаг 1. Разложим число 21 на множители:

$$21 = 7 \cdot 3$$

Шаг 2. Применим свойство логарифма произведения:

$$\log_{\frac{1}{2}}(7 \cdot 3) = \log_{\frac{1}{2}} 7 + \log_{\frac{1}{2}} 3$$

Шаг 3. Подставим обозначения:

$$\log_{\frac{1}{2}} 7 = c, \quad \log_{\frac{1}{2}} 3 = a$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{2}} 21 = c + a$$

б) $\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{42}$

Шаг 1. Разложим число 42:

$$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \Rightarrow \dfrac{1}{42} = \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 7}$$

Шаг 2. Запишем как произведение обратных чисел:

$$\dfrac{1}{42} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{7}$$

Шаг 3. Применим логарифм произведения:

$$\log_{\frac{1}{2}}\left( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{7} \right) = \log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{2} + \log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{3} + \log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{7}$$

Шаг 4. Используем свойство логарифма частного:

$$\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{x} = — \log_{\frac{1}{2}} x$$

Значит:

$$\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{3} = -a, \quad \log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{7} = -c$$

Шаг 5. Найдём $\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{2}$:

$$\dfrac{1}{2} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^1 \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{2} = 1$$

Шаг 6. Подставим всё:

$$\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{42} = 1 — a — c$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{42} = 1 — c — a$$

в) $\log_{\frac{1}{2}} 147$

Шаг 1. Разложим число 147:

$$147 = 49 \cdot 3 = 7^2 \cdot 3$$

Шаг 2. Применим логарифм произведения:

$$\log_{\frac{1}{2}}(7^2 \cdot 3) = \log_{\frac{1}{2}} 7^2 + \log_{\frac{1}{2}} 3$$

Шаг 3. Применим логарифм степени:

$$\log_{\frac{1}{2}} 7^2 = 2 \log_{\frac{1}{2}} 7 = 2c$$

Шаг 4. Подставим значения:

$$\log_{\frac{1}{2}} 3 = a$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{2}} 147 = 2c + a$$

г) $\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{49}{\sqrt{3}}$

Шаг 1. Представим в виде степеней:

$$49 = 7^2, \quad \sqrt{3} = 3^{1/2} \Rightarrow \dfrac{49}{\sqrt{3}} = \dfrac{7^2}{3^{1/2}}$$

Шаг 2. Применим логарифм частного:

$$\log_{\frac{1}{2}} \left( \dfrac{7^2}{3^{1/2}} \right) = \log_{\frac{1}{2}} 7^2 — \log_{\frac{1}{2}} 3^{1/2}$$

Шаг 3. Применим логарифм степени:

$$\log_{\frac{1}{2}} 7^2 = 2 \log_{\frac{1}{2}} 7 = 2c, \quad \log_{\frac{1}{2}} 3^{1/2} = \dfrac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 3 = 0{,}5a$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{49}{\sqrt{3}} = 2c — 0{,}5a$$

Окончательные ответы:

а) $\log_{\frac{1}{2}} 21 = c + a$
б) $\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{42} = 1 — c — a$
в) $\log_{\frac{1}{2}} 147 = 2c + a$
г) $\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{49}{\sqrt{3}} = 2c — 0{,}5a$