ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$\log_{\sqrt{2}}\left(\sin\frac{\pi}{8}\right) + \log_{\sqrt{2}}\left(2\cos\frac{\pi}{8}\right) = \log_{\sqrt{2}}\left(2\sin\frac{\pi}{8}\cdot\cos\frac{\pi}{8}\right) =$$ $$= \log_{\sqrt{2}}\left(\sin\frac{\pi}{4}\right) = \log_{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2})^{-1} = -1;$$

Ответ: $-1$.

б)

$$\log_{\frac{1}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6}\right) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{6} — \sin\frac{\pi}{6}\right) =$$ $$= \log_{\frac{1}{2}}\left((\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6})(\cos\frac{\pi}{6} — \sin\frac{\pi}{6})\right) =$$ $$= \log_{\frac{1}{2}}\left(\cos^2\frac{\pi}{6} — \sin^2\frac{\pi}{6}\right) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{3}\right) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right) = 1;$$

Ответ: $1$.

в)

$$\log_{\frac{1}{2}}\left(2\sin\frac{\pi}{12}\right) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12}\right) = \log_{\frac{1}{2}}\left(2\sin\frac{\pi}{12}\cdot\cos\frac{\pi}{12}\right) =$$ $$= \log_{\frac{1}{2}}\left(\sin\frac{\pi}{6}\right) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right) = 1;$$

Ответ: $1$.

г)

$$\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12} — \sin\frac{\pi}{12}\right) + \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12}\right) =$$ $$= \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left((\cos\frac{\pi}{12} — \sin\frac{\pi}{12})(\cos\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12})\right) =$$ $$= \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos^2\frac{\pi}{12} — \sin^2\frac{\pi}{12}\right) = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{6}\right) = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1;$$

Ответ: $1$.

а)

$$\log_{\sqrt{2}}\left(\sin\frac{\pi}{8}\right) + \log_{\sqrt{2}}\left(2\cos\frac{\pi}{8}\right)$$

Шаг 1. Применяем свойство логарифма произведения:

$$\log_{\sqrt{2}}\left(\sin\frac{\pi}{8}\right) + \log_{\sqrt{2}}\left(2\cos\frac{\pi}{8}\right) = \log_{\sqrt{2}}\left(2\sin\frac{\pi}{8}\cdot\cos\frac{\pi}{8}\right)$$

Шаг 2. Используем тригонометрическое тождество:

$$2\sin x \cos x = \sin 2x$$

При $x = \frac{\pi}{8}$, получаем:

$$2\sin\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{8} = \sin\frac{\pi}{4}$$

Шаг 3. Подставим:

$$\log_{\sqrt{2}}(\sin\frac{\pi}{4}) = \log_{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$

Шаг 4. Представим как степень основания:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{-1}$$

Шаг 5. Применим свойство логарифма степени:

$$\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2})^{-1} = -1$$

Ответ:

$$-1$$

б)

$$\log_{\frac{1}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6}\right) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{6} — \sin\frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 1. Используем логарифм произведения:

$$= \log_{\frac{1}{2}}\left((\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6})(\cos\frac{\pi}{6} — \sin\frac{\pi}{6})\right)$$

Шаг 2. Применим формулу разности квадратов:

$$(a + b)(a — b) = a^2 — b^2$$ $$= \log_{\frac{1}{2}}(\cos^2\frac{\pi}{6} — \sin^2\frac{\pi}{6})$$

Шаг 3. Подставим значения:

• $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \cos^2\frac{\pi}{6} = \frac{3}{4}$
• $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin^2\frac{\pi}{6} = \frac{1}{4}$

$$= \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{3}{4} — \frac{1}{4}\right) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)$$

Шаг 4. Известно, что:

$$\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right) = 1$$

Ответ:

$$1$$

в)

$$\log_{\frac{1}{2}}\left(2\sin\frac{\pi}{12}\right) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12}\right)$$

Шаг 1. Применим логарифм произведения:

$$= \log_{\frac{1}{2}}\left(2\sin\frac{\pi}{12} \cdot \cos\frac{\pi}{12}\right)$$

Шаг 2. Используем тождество:

$$2\sin x \cos x = \sin 2x$$

При $x = \frac{\pi}{12}$:

$$2\sin\frac{\pi}{12} \cdot \cos\frac{\pi}{12} = \sin\frac{\pi}{6}$$

Шаг 3. Подставим:

$$\log_{\frac{1}{2}}\left(\sin\frac{\pi}{6}\right) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)$$

Шаг 4. Логарифм:

$$\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right) = 1$$

Ответ:

$$1$$

г)

$$\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12} — \sin\frac{\pi}{12}\right) + \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12}\right)$$

Шаг 1. Используем логарифм произведения:

$$= \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left((\cos\frac{\pi}{12} — \sin\frac{\pi}{12})(\cos\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12})\right)$$

Шаг 2. Применим формулу разности квадратов:

$$= \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\cos^2\frac{\pi}{12} — \sin^2\frac{\pi}{12})$$

Шаг 3. Используем тождество:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x$$

При $x = \frac{\pi}{12}$, получаем:

$$\cos^2\frac{\pi}{12} — \sin^2\frac{\pi}{12} = \cos\frac{\pi}{6}$$

Шаг 4. Подставим значение:

$$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$= \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Шаг 5. Логарифм числа по самому себе равен 1:

$$\log_b b = 1$$

Ответ:

$$1$$

Итоги:

а) $-1$
б) $1$
в) $1$
г) $1$