ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$\log_{144} 3 + \log_{144} 4 = \log_{144}(3 \cdot 4) = \log_{144} 12 = \log_{144} 144^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

$$\log_{\frac{1}{8}} 4 + \log_{\frac{1}{8}} 2 = \log_{\frac{1}{8}}(4 \cdot 2) = \log_{\frac{1}{8}} 8 = \log_{\frac{1}{8}}\left(\frac{1}{8}\right)^{-1} = -1$$

Ответ: $-1$

в)

$$\log_{216} 2 + \log_{216} 3 = \log_{216}(2 \cdot 3) = \log_{216} 6 = \log_{216} 216^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$$

Ответ: $\frac{1}{3}$

г)

$$\log_{12} \frac{1}{2} + \log_{12} \frac{1}{72} = \log_{12} \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{72}\right) = \log_{12} \frac{1}{144} = \log_{12}(12)^{-2} = -2$$

Ответ: $-2$

а)

Вычислить:

$$\log_{144} 3 + \log_{144} 4$$

Шаг 1. Применим формулу суммы логарифмов с одинаковым основанием:

$$\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$$ $$\log_{144} 3 + \log_{144} 4 = \log_{144}(3 \cdot 4)$$

Шаг 2. Упростим произведение:

$$3 \cdot 4 = 12 \Rightarrow \log_{144} 12$$

Шаг 3. Представим 12 как корень из 144:

$$12 = \sqrt{144} = 144^{1/2} \Rightarrow \log_{144} 12 = \log_{144}(144^{1/2})$$

Шаг 4. Применим формулу:

$$\log_a(a^r) = r$$ $$\log_{144}(144^{1/2}) = \frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{2}}$$

б)

Вычислить:

$$\log_{\frac{1}{8}} 4 + \log_{\frac{1}{8}} 2$$

Шаг 1. Сложим логарифмы:

$$\log_{\frac{1}{8}}(4 \cdot 2) = \log_{\frac{1}{8}} 8$$

Шаг 2. Заметим, что:

$$8 = \left( \frac{1}{8} \right)^{-1} \Rightarrow \log_{\frac{1}{8}} 8 = \log_{\frac{1}{8}}\left( \left(\frac{1}{8}\right)^{-1} \right)$$

Шаг 3. Применим формулу логарифма степени:

$$\log_a(a^r) = r \Rightarrow \log_{\frac{1}{8}} \left(\left(\frac{1}{8}\right)^{-1}\right) = -1$$

Ответ:

$$\boxed{-1}$$

в)

Вычислить:

$$\log_{216} 2 + \log_{216} 3$$

Шаг 1. Используем свойство логарифмов:

$$\log_{216}(2 \cdot 3) = \log_{216} 6$$

Шаг 2. Представим 6 как корень степени 3 из 216:

$$6 = \sqrt[3]{216} = 216^{1/3} \Rightarrow \log_{216} 6 = \log_{216}(216^{1/3})$$

Шаг 3. Применим логарифмическую формулу:

$$\log_a(a^r) = r \Rightarrow \log_{216}(216^{1/3}) = \frac{1}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{3}}$$

г)

Вычислить:

$$\log_{12} \frac{1}{2} + \log_{12} \frac{1}{72}$$

Шаг 1. Объединим логарифмы по свойству:

$$\log_{12} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{72} \right ) = \log_{12} \left( \frac{1}{144} \right )$$

Шаг 2. Представим $\frac{1}{144}$ как степень 12:

$$\frac{1}{144} = \left( \frac{1}{12^2} \right ) = 12^{-2} \Rightarrow \log_{12} \left( \frac{1}{144} \right ) = \log_{12}(12^{-2})$$

Шаг 3. Применим свойство логарифма:

$$\log_a(a^r) = r \Rightarrow \log_{12}(12^{-2}) = -2$$

Ответ:

$$\boxed{-2}$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{1}{2}$
б) $-1$
в) $\frac{1}{3}$
г) $-2$