ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$\log_3\left(2 \, \tg\frac{\pi}{8}\right) — \log_3\left(1 — \tg^2\frac{\pi}{8}\right) = \log_3\frac{2 \, \tg\frac{\pi}{8}}{1 — \tg^2\frac{\pi}{8}} = \log_3\left(\tg\frac{\pi}{4}\right) =$$ $$= \log_3 1 = 0;$$

Ответ: 0.

б)

$$\log_{\sqrt{3}}\left(\tg\frac{\pi}{19}\right) + \log_{\sqrt{3}}\left(\ctg\frac{\pi}{19}\right) = \log_{\sqrt{3}}\left(\tg\frac{\pi}{19} \cdot \ctg\frac{\pi}{19}\right) = \log_{\sqrt{3}} 1 = 0;$$

Ответ: 0.

в)

$$\log_{\frac{1}{3}}\left(2 \, \tg\frac{\pi}{6}\right) + \log_{\frac{1}{3}}\left(1 — \tg^2\frac{\pi}{6}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{3}}\left(2 \, \tg\frac{\pi}{6}\right) — \log_{\frac{1}{3}}\left(1 — \tg^2\frac{\pi}{6}\right) =$$ $$= \log_{\frac{1}{3}}\frac{2 \, \tg\frac{\pi}{6}}{1 — \tg^2\frac{\pi}{6}} = \log_{\frac{1}{3}}\left(\tg\frac{\pi}{3}\right) = \log_{\frac{1}{3}}\sqrt{3} = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} = -0{,}5;$$

Ответ: $-0{,}5$.

г)

$$\log_{\frac{1}{2}}\left(\tg\frac{\pi}{7}\right) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\tg\frac{5\pi}{14}\right) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\tg\frac{\pi}{7} \cdot \tg\frac{5\pi}{14}\right) =$$ $$= \log_{\frac{1}{2}}\left(\tg\frac{\pi}{7} \cdot \ctg\left(\frac{\pi}{2} — \frac{5\pi}{14}\right)\right) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\tg\frac{\pi}{7} \cdot \ctg\frac{\pi}{7}\right) = \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0;$$

Ответ: 0.

а)

$$\log_3\left(2 \, \tg\frac{\pi}{8}\right) — \log_3\left(1 — \tg^2\frac{\pi}{8}\right)$$

Шаг 1. Используем свойство логарифма разности:

$$\log_3 A — \log_3 B = \log_3 \left( \frac{A}{B} \right)$$

Применим:

$$= \log_3 \left( \frac{2 \, \tg\frac{\pi}{8}}{1 — \tg^2\frac{\pi}{8}} \right)$$

Шаг 2. Используем тригонометрическое тождество:

$$\frac{2 \, \tg x}{1 — \tg^2 x} = \tg 2x$$

Здесь $x = \frac{\pi}{8}$, значит:

$$\frac{2 \, \tg\frac{\pi}{8}}{1 — \tg^2\frac{\pi}{8}} = \tg\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \tg\frac{\pi}{4}$$

Шаг 3. Значение тангенса:

$$\tg\frac{\pi}{4} = 1$$

Шаг 4. Логарифм:

$$\log_3 1 = 0$$

Ответ:

$$0$$

б)

$$\log_{\sqrt{3}}\left(\tg\frac{\pi}{19}\right) + \log_{\sqrt{3}}\left(\ctg\frac{\pi}{19}\right)$$

Шаг 1. Используем свойство логарифма суммы:

$$\log_a A + \log_a B = \log_a (A \cdot B)$$

Применим:

$$= \log_{\sqrt{3}}\left(\tg\frac{\pi}{19} \cdot \ctg\frac{\pi}{19}\right)$$

Шаг 2. Тригонометрическое произведение:

$$\tg x \cdot \ctg x = 1$$

Значит:

$$= \log_{\sqrt{3}} 1$$

Шаг 3. Логарифм:

$$\log_{\sqrt{3}} 1 = 0$$

Ответ:

$$0$$

в)

$$\log_{\frac{1}{3}}\left(2 \, \tg\frac{\pi}{6}\right) + \log_{\frac{1}{3}}\left(1 — \tg^2\frac{\pi}{6}\right)^{-1}$$

Шаг 1. Логарифм отрицательной степени:

$$\log_a (B^{-1}) = -\log_a B$$

Значит:

$$= \log_{\frac{1}{3}}\left(2 \, \tg\frac{\pi}{6}\right) — \log_{\frac{1}{3}}\left(1 — \tg^2\frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 2. Используем логарифм частного:

$$= \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{2 \, \tg\frac{\pi}{6}}{1 — \tg^2\frac{\pi}{6}} \right)$$

Шаг 3. Используем тригонометрическое тождество:

$$\frac{2 \, \tg x}{1 — \tg^2 x} = \tg 2x$$

Здесь $x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{3}$

$$= \log_{\frac{1}{3}}(\tg\frac{\pi}{3})$$

Шаг 4. Значение:

$$\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$$ $$= \log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3}$$

Шаг 5. Представим $\sqrt{3}$ как степень числа $\frac{1}{3}$:

$$\sqrt{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1/2} \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-1/2} = -\frac{1}{2}$$

Ответ:

$$-0{,}5$$

г)

$$\log_{\frac{1}{2}}\left(\tg\frac{\pi}{7}\right) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\tg\frac{5\pi}{14}\right)$$

Шаг 1. Используем логарифм произведения:

$$= \log_{\frac{1}{2}}\left(\tg\frac{\pi}{7} \cdot \tg\frac{5\pi}{14}\right)$$

Шаг 2. Заметим, что:

$$\tg\left(\frac{5\pi}{14}\right) = \ctg\left(\frac{\pi}{2} — \frac{5\pi}{14}\right) = \ctg\left(\frac{2\pi}{14} = \frac{\pi}{7}\right)$$

Значит:

$$\tg\frac{\pi}{7} \cdot \tg\frac{5\pi}{14} = \tg\frac{\pi}{7} \cdot \ctg\frac{\pi}{7} = 1$$

Шаг 3. Логарифм:

$$\log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$$

Ответ:

$$0$$

Итоги:

а) $0$
б) $0$
в) $-0{,}5$
г) $0$