ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти число $x$ по его логарифму:

а) $\log_2 x = \log_2 72 — \log_2 9 = \log_2 \frac{72}{9} = \log_2 8$;
Ответ: $x = 8$.

б) $\log_4 x = \log_4 2\sqrt{2} + \log_4 8\sqrt{8} = \log_4 (2\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{8}) = \log_4 64$;
Ответ: $x = 64$.

в) $\log_7 x = \log_7 14 — \log_7 98 = \log_7 \frac{14}{98} = \log_7 \frac{1}{7}$;
Ответ: $x = \frac{1}{7}$.

г) $\lg x = \lg \frac{1}{8} + \lg \frac{1}{125} = \lg \left( \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{125} \right) = \lg \frac{1}{1000} = \lg 0,001$;
Ответ: $x = 0,001$.

а) Дано:

$$\log_2 x = \log_2 72 — \log_2 9$$

Шаг 1:
Применим свойство логарифмов:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right)$$

Применим его к выражению:

$$\log_2 x = \log_2 \left( \frac{72}{9} \right)$$

Шаг 2:
Выполним деление чисел:

$$\frac{72}{9} = 8$$ $$\log_2 x = \log_2 8$$

Шаг 3:
Поскольку $\log_2 x = \log_2 8$, то

$$x = 8$$

Ответ: $x = 8$

б) Дано:

$$\log_4 x = \log_4 2\sqrt{2} + \log_4 8\sqrt{8}$$

Шаг 1:
Применим свойство логарифмов:

$$\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$$ $$\log_4 x = \log_4 \left(2\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{8} \right)$$

Шаг 2:
Упростим каждое выражение под логарифмом.

Вспомним:

$$\sqrt{2} = 2^{1/2}, \quad \sqrt{8} = \sqrt{2^3} = 2^{3/2}$$

Теперь:

$$2\sqrt{2} = 2 \cdot 2^{1/2} = 2^{1 + 1/2} = 2^{3/2}$$ $$8\sqrt{8} = 8 \cdot 2^{3/2} = 2^3 \cdot 2^{3/2} = 2^{3 + 3/2} = 2^{9/2}$$

Теперь перемножим:

$$2\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{8} = 2^{3/2} \cdot 2^{9/2} = 2^{(3/2 + 9/2)} = 2^{12/2} = 2^6 = 64$$ $$\log_4 x = \log_4 64$$

Шаг 3:
Так как $\log_4 x = \log_4 64$, то

$$x = 64$$

Ответ: $x = 64$

в) Дано:

$$\log_7 x = \log_7 14 — \log_7 98$$

Шаг 1:
Применим свойство логарифмов:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right)$$ $$\log_7 x = \log_7 \left( \frac{14}{98} \right)$$

Шаг 2:
Выполним деление:

$$\frac{14}{98} = \frac{1}{7}$$ $$\log_7 x = \log_7 \left( \frac{1}{7} \right)$$

Шаг 3:
Поскольку $\log_7 x = \log_7 \left( \frac{1}{7} \right)$, то

$$x = \frac{1}{7}$$

Ответ: $x = \frac{1}{7}$

г) Дано:

$$\lg x = \lg \frac{1}{8} + \lg \frac{1}{125}$$

Шаг 1:
Применим свойство логарифмов:

$$\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$$ $$\lg x = \lg \left( \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{125} \right)$$

Шаг 2:
Выполним умножение дробей:

$$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{125} = \frac{1}{1000}$$ $$\lg x = \lg \left( \frac{1}{1000} \right)$$

Шаг 3:

$$\frac{1}{1000} = 0{,}001$$ $$\lg x = \lg 0{,}001$$

Шаг 4:
Так как $\lg x = \lg 0{,}001$, то

$$x = 0{,}001$$

Ответ: $x = 0{,}001$