ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти число $x$ по его логарифму:

а)

$$\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}} 19 — \log_{\frac{1}{2}} 38 + \log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{19 \cdot 3}{38} = \log_{\frac{1}{2}} 1,5$$

Ответ: $x = 1{,}5$

б)

$$\log_{0,2} x = \log_{0,2} 93 + \log_{0,2} 4 — \log_{0,2} 31 = \log_{0,2} \frac{93 \cdot 4}{31} = \log_{0,2} 12$$

Ответ: $x = 12$

в)

$$\log_{\sqrt{7}} x = 2 \log_{\sqrt{7}} 4 — \log_{\sqrt{7}} 2 + \log_{\sqrt{7}} 5 = \log_{\sqrt{7}} \frac{4^2 \cdot 5}{2} = \log_{\sqrt{7}} 40$$

Ответ: $x = 40$

г)

$$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{7}{9} + \log_{\frac{1}{3}} 21 — 2 \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{\frac{7}{9} \cdot 21}{7^2} = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$$

Ответ: $x = \frac{1}{3}$

а)

$$\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}} 19 — \log_{\frac{1}{2}} 38 + \log_{\frac{1}{2}} 3$$

Шаг 1.
Используем свойства логарифмов:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right), \quad \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$$

Сначала упростим первые два логарифма:

$$\log_{\frac{1}{2}} 19 — \log_{\frac{1}{2}} 38 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{19}{38} \right)$$ $$\frac{19}{38} = \frac{1}{2}$$ $$= \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)$$

Теперь добавим оставшийся логарифм:

$$\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right) + \log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \cdot 3 \right) = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{3}{2} \right)$$ $$\frac{3}{2} = 1{,}5$$ $$\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}} 1{,}5$$

Вывод:
Так как логарифмы равны, то

$$x = 1{,}5$$

Ответ: $x = 1{,}5$

б)

$$\log_{0{,}2} x = \log_{0{,}2} 93 + \log_{0{,}2} 4 — \log_{0{,}2} 31$$

Шаг 1.
Сначала сложим два логарифма:

$$\log_{0{,}2} 93 + \log_{0{,}2} 4 = \log_{0{,}2} (93 \cdot 4) = \log_{0{,}2} 372$$

Теперь вычтем:

$$\log_{0{,}2} 372 — \log_{0{,}2} 31 = \log_{0{,}2} \left( \frac{372}{31} \right)$$

Шаг 2.
Посчитаем:

$$\frac{372}{31} = 12$$ $$\log_{0{,}2} x = \log_{0{,}2} 12$$

Вывод:

$$x = 12$$

Ответ: $x = 12$

в)

$$\log_{\sqrt{7}} x = 2 \log_{\sqrt{7}} 4 — \log_{\sqrt{7}} 2 + \log_{\sqrt{7}} 5$$

Шаг 1.
Используем свойство:

$$a \log_b c = \log_b c^a$$ $$2 \log_{\sqrt{7}} 4 = \log_{\sqrt{7}} 4^2 = \log_{\sqrt{7}} 16$$

Теперь подставим в исходное выражение:

$$\log_{\sqrt{7}} x = \log_{\sqrt{7}} 16 — \log_{\sqrt{7}} 2 + \log_{\sqrt{7}} 5$$

Шаг 2.
Вычтем:

$$\log_{\sqrt{7}} 16 — \log_{\sqrt{7}} 2 = \log_{\sqrt{7}} \left( \frac{16}{2} \right) = \log_{\sqrt{7}} 8$$

Теперь прибавим:

$$\log_{\sqrt{7}} 8 + \log_{\sqrt{7}} 5 = \log_{\sqrt{7}} (8 \cdot 5) = \log_{\sqrt{7}} 40$$ $$\log_{\sqrt{7}} x = \log_{\sqrt{7}} 40$$

Вывод:

$$x = 40$$

Ответ: $x = 40$

г)

$$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{7}{9} + \log_{\frac{1}{3}} 21 — 2 \log_{\frac{1}{3}} 7$$

Шаг 1.
Преобразуем последний логарифм:

$$2 \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}} 7^2 = \log_{\frac{1}{3}} 49$$

Подставим в выражение:

$$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{7}{9} + \log_{\frac{1}{3}} 21 — \log_{\frac{1}{3}} 49$$

Шаг 2.
Сначала сложим два логарифма:

$$\log_{\frac{1}{3}} \frac{7}{9} + \log_{\frac{1}{3}} 21 = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{7}{9} \cdot 21 \right)$$

Посчитаем:

$$\frac{7 \cdot 21}{9} = \frac{147}{9} = 16{,}333… \quad \text{(но оставим в виде дроби для точности)} \[ \frac{7 \cdot 21}{9} = \frac{147}{9}$$

Теперь вычтем:

$$\log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{147}{9} \right) — \log_{\frac{1}{3}} 49 = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{147}{9 \cdot 49} \right)$$ $$9 \cdot 49 = 441 \Rightarrow \frac{147}{441} = \frac{1}{3}$$ $$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)$$

Вывод:

$$x = \frac{1}{3}$$

Ответ: $x = \frac{1}{3}$