ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти число $x$ по его логарифму:

а) $\lg x = 2 \lg 7 — 3 \lg 3 + \lg 8 = \lg \frac{7^2 \cdot 8}{3^3} = \lg \frac{392}{27} = \lg \left(14 \frac{14}{27}\right)$;
Ответ: $x = 14 \frac{14}{27}$.

б) $\lg x = 2 \lg 3 + \lg 6 — \frac{1}{2} \lg 9 = \lg \frac{3^2 \cdot 6}{\sqrt{9}} = \lg \frac{54}{3} = \lg 18$;
Ответ: $x = 18$.

в) $\lg x = \frac{1}{2} \lg 3 + \frac{2}{3} \lg 5 — \frac{1}{3} \lg 4 = \lg \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}} = \lg \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{4}}$;
Ответ: $x = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{4}}$.

г) $\lg x = -\frac{1}{2} \lg 5 + \lg \sqrt{5} + \frac{1}{4} \lg 25 = \lg \left(5^{-\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{5} \cdot 25^{\frac{1}{4}}\right)$;
$\lg x = \lg \left(5^{-\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}\right) = \lg 5^{\frac{1}{2}} = \lg \sqrt{5}$;
Ответ: $x = \sqrt{5}$.

а) Дано:
$\lg x = 2 \lg 7 — 3 \lg 3 + \lg 8$

Шаг 1. Используем формулу:
$a \lg b = \lg b^a$
Тогда:
$2 \lg 7 = \lg 7^2 = \lg 49$
$3 \lg 3 = \lg 3^3 = \lg 27$

Шаг 2. Подставим:
$\lg x = \lg 49 — \lg 27 + \lg 8$

Шаг 3. Используем свойства логарифмов:
$\lg a — \lg b = \lg \frac{a}{b}$
$\lg a + \lg b = \lg (a \cdot b)$

Применим сначала вычитание:
$\lg 49 — \lg 27 = \lg \frac{49}{27}$

Теперь прибавим $\lg 8$:
$\lg \frac{49}{27} + \lg 8 = \lg \left( \frac{49 \cdot 8}{27} \right)$

Шаг 4. Упростим выражение:
$49 \cdot 8 = 392$,
$\frac{392}{27}$ — это неправильная дробь.

Шаг 5. Переведем в смешанное число:
$\frac{392}{27} = 14 \frac{14}{27}$

Ответ: $$$x = 14 \frac{14}{27}$

б) Дано:
$\lg x = 2 \lg 3 + \lg 6 — \frac{1}{2} \lg 9$

Шаг 1. Преобразуем с помощью $a \lg b = \lg b^a$:
$2 \lg 3 = \lg 3^2 = \lg 9$
$\frac{1}{2} \lg 9 = \lg 9^{\frac{1}{2}} = \lg \sqrt{9} = \lg 3$

Шаг 2. Подставим:
$\lg x = \lg 9 + \lg 6 — \lg 3$

Шаг 3. Используем:
$\lg a + \lg b = \lg (a \cdot b)$
$\lg a — \lg b = \lg \frac{a}{b}$

Сначала сложим:
$\lg 9 + \lg 6 = \lg (9 \cdot 6) = \lg 54$

Теперь вычтем:
$\lg 54 — \lg 3 = \lg \frac{54}{3} = \lg 18$

Ответ: $$$x = 18$

в) Дано:
$\lg x = \frac{1}{2} \lg 3 + \frac{2}{3} \lg 5 — \frac{1}{3} \lg 4$

Шаг 1. Используем $a \lg b = \lg b^a$:
$\frac{1}{2} \lg 3 = \lg 3^{\frac{1}{2}} = \lg \sqrt{3}$
$\frac{2}{3} \lg 5 = \lg 5^{\frac{2}{3}} = \lg \sqrt[3]{5^2}$
$\frac{1}{3} \lg 4 = \lg 4^{\frac{1}{3}} = \lg \sqrt[3]{4}$

Шаг 2. Подставим:
$\lg x = \lg \sqrt{3} + \lg \sqrt[3]{5^2} — \lg \sqrt[3]{4}$

Шаг 3. Сложим логарифмы:
$\lg \sqrt{3} + \lg \sqrt[3]{5^2} = \lg \left( \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5^2} \right)$

Теперь вычтем:
$\lg \left( \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5^2} \right) — \lg \sqrt[3]{4} = \lg \left( \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{4}} \right)$

Ответ: $$$x = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{4}}$

г) Дано:
$\lg x = -\frac{1}{2} \lg 5 + \lg \sqrt{5} + \frac{1}{4} \lg 25$

Шаг 1. Преобразуем каждое слагаемое:
$-\frac{1}{2} \lg 5 = \lg 5^{-\frac{1}{2}}$
$\lg \sqrt{5} = \lg 5^{\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{4} \lg 25 = \lg 25^{\frac{1}{4}}$

Заметим:
$25 = 5^2 \Rightarrow 25^{\frac{1}{4}} = (5^2)^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{2}}$
То есть:
$\frac{1}{4} \lg 25 = \lg 5^{\frac{1}{2}}$

Шаг 2. Подставим:
$\lg x = \lg 5^{-\frac{1}{2}} + \lg 5^{\frac{1}{2}} + \lg 5^{\frac{1}{2}}$

Шаг 3. Сложим логарифмы:
$\lg x = \lg \left( 5^{-\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \right)$

Используем свойства степеней:
$5^{-\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^0 = 1$
$1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{2}}$

Значит:
$\lg x = \lg 5^{\frac{1}{2}} = \lg \sqrt{5}$

Ответ: $$$x = \sqrt{5}$