ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2^{3{\log }_{2}4}$

б) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2{\log }_{\frac{1}{2}}7}$

в) $5^{2{\log }_{5}3}$

г) $(0,3{)}^{3{\log }_{0,3}6}$

Вычислить значение:

а) $2^{3 \log_2 4} = (2^{\log_2 4})^3 = 4^3 = 64$;
Ответ: 64.

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^{2 \log_{\frac{1}{2}} 7} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 7}\right)^2 = 7^2 = 49$;
Ответ: 49.

в) $5^{2 \log_5 3} = (5^{\log_5 3})^2 = 3^2 = 9$;
Ответ: 9.

г) $(0,3)^{3 \log_{0,3} 6} = ((0,3)^{\log_{0,3} 6})^3 = 6^3 = 216$;
Ответ: 216.

а) Дано:
$2^{3 \log_2 4}$

Шаг 1. Используем свойство:
$a^{k \cdot \log_a b} = (a^{\log_a b})^k$

Применим его:
$2^{3 \log_2 4} = \left(2^{\log_2 4}\right)^3$

Шаг 2. Применим основное логарифмическое тождество:
$a^{\log_a b} = b$, при $a > 0, a \ne 1$

Здесь:
$2^{\log_2 4} = 4$

Шаг 3. Возведём в куб:
$\left(2^{\log_2 4}\right)^3 = 4^3$

Шаг 4. Посчитаем:
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$

Ответ: 64

б) Дано:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{2 \log_{\frac{1}{2}} 7}$

Шаг 1. Используем ту же формулу:
$a^{k \cdot \log_a b} = (a^{\log_a b})^k$

Тогда:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{2 \log_{\frac{1}{2}} 7} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 7}\right)^2$

Шаг 2. Используем основное логарифмическое тождество:
$a^{\log_a b} = b$

Значит:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 7} = 7$

Шаг 3. Подставим:
$\left(7\right)^2 = 49$

Ответ: 49

в) Дано:
$5^{2 \log_5 3}$

Шаг 1. Преобразуем:
$5^{2 \log_5 3} = \left(5^{\log_5 3}\right)^2$

Шаг 2. По тождеству:
$5^{\log_5 3} = 3$

Шаг 3. Возводим в квадрат:
$3^2 = 9$

Ответ: 9

г) Дано:
$(0{,}3)^{3 \log_{0{,}3} 6}$

Шаг 1. Используем то же правило:
$a^{k \cdot \log_a b} = (a^{\log_a b})^k$

Преобразуем:
$(0{,}3)^{3 \log_{0{,}3} 6} = \left((0{,}3)^{\log_{0{,}3} 6}\right)^3$

Шаг 2. Применяем основное тождество:
$(0{,}3)^{\log_{0{,}3} 6} = 6$

Шаг 3. Возводим в куб:
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$

Ответ: 216