ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $8^{{\log }_{2}3}$

б) ${\left(\frac{1}{9}\right)}^{{\log }_{\frac{1}{3}}13}$

в) ${100}^{\lg 5}$

г) ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{{\log }_{\frac{1}{2}}5}$

Вычислить значение:

а) $8^{\log_2 3} = 2^{3 \cdot \log_2 3} = (2^{\log_2 3})^3 = 3^3 = 27$;
Ответ: 27.

б) $\left(\frac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{3}} 13} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 13} = \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}} 13}\right)^2 = 13^2 = 169$;
Ответ: 169.

в) $100^{\lg 5} = 10^{2 \cdot \lg 5} = (10^{\lg 5})^2 = 5^2 = 25$;
Ответ: 25.

г) $\left(\frac{1}{16}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{4 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 5} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 5}\right)^4 = 5^4 = 625$;
Ответ: 625.

а) Вычислить:
$8^{\log_2 3}$

Шаг 1. Представим 8 как степень двойки:
$8 = 2^3$

Шаг 2. Подставим в выражение:
$(2^3)^{\log_2 3}$

Шаг 3. Применим свойство степеней:
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Получаем:
$2^{3 \cdot \log_2 3}$

Шаг 4. Переставим множители:
$2^{\log_2 3^3}$
(используем свойство логарифма: $a \cdot \log_b x = \log_b x^a$)

Шаг 5. Применим основное логарифмическое тождество:
$a^{\log_a b} = b$

Значит:
$2^{\log_2 3^3} = 3^3$

Шаг 6. Вычислим:
$3^3 = 27$

Ответ: 27

б) Вычислить:
$\left(\frac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{3}} 13}$

Шаг 1. Представим $\frac{1}{9}$ как $\left(\frac{1}{3}\right)^2$

Подставим:
$\left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right)^{\log_{\frac{1}{3}} 13}$

Шаг 2. Используем свойство степеней:
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Получаем:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 13}$

Шаг 3. Перепишем как:
$\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}} 13}\right)^2$

Шаг 4. Применим тождество:
$a^{\log_a b} = b$

Значит:
$\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}} 13}\right)^2 = 13^2$

Шаг 5. Вычислим:
$13^2 = 169$

Ответ: 169

в) Вычислить:
$100^{\lg 5}$

Шаг 1. Представим 100 как $10^2$

Подставим:
$(10^2)^{\lg 5}$

Шаг 2. Используем свойство степеней:
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Получаем:
$10^{2 \cdot \lg 5}$

Шаг 3. Перепишем как:
$(10^{\lg 5})^2$

Шаг 4. Применим тождество:
$10^{\lg a} = a$

Значит:
$(10^{\lg 5})^2 = 5^2$

Шаг 5. Вычислим:
$5^2 = 25$

Ответ: 25

г) Вычислить:
$\left(\frac{1}{16}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 5}$

Шаг 1. Представим $\frac{1}{16}$ как $\left(\frac{1}{2}\right)^4$

Подставим:
$\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 5}$

Шаг 2. Используем свойство степеней:
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Получаем:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{4 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 5}$

Шаг 3. Перепишем как:
$\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 5}\right)^4$

Шаг 4. Применим тождество:
$a^{\log_a b} = b$

Значит:
$\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 5}\right)^4 = 5^4$

Шаг 5. Вычислим:
$5^4 = 625$

Ответ: 625