ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${36}^{\frac{1}{2}{\log }_{6}18}$

б) ${64}^{\frac{1}{2}{\log }_{8}25}$

в) ${121}^{\frac{1}{2}{\log }_{11}35}$

г) ${25}^{\frac{1}{4}{\log }_{5}9}$

Вычислить значение:

а) $36^{\frac{1}{2} \log_6 18} = \left(36^{\frac{1}{2}}\right)^{\log_6 18} = 6^{\log_6 18} = 18$;
Ответ: 18.

б) $64^{\frac{1}{2} \log_8 25} = \left(64^{\frac{1}{2}}\right)^{\log_8 25} = \left(8^{\log_8 25}\right)^{\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = 5$;
Ответ: 5.

в) $121^{\frac{1}{2} \log_{11} 35} = \left(121^{\frac{1}{2}}\right)^{\log_{11} 35} = 11^{\log_{11} 35} = 35$;
Ответ: 35.

г) $25^{\frac{1}{4} \log_5 9} = \left(25^{\frac{1}{2}}\right)^{\log_5 9} = \left(5^{\log_5 9}\right)^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2}} = 3$;
Ответ: 3.

а) Вычислить:
$36^{\frac{1}{2} \log_6 18}$

Шаг 1. Представим степень двойным показателем:
$36^{\frac{1}{2} \log_6 18} = \left(36^{\frac{1}{2}}\right)^{\log_6 18}$

Шаг 2. Вычислим корень:
$36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$

Шаг 3. Подставим:
$\left(6\right)^{\log_6 18}$

Шаг 4. Используем тождество:
$a^{\log_a b} = b$

Получаем:
$6^{\log_6 18} = 18$

Ответ: 18

б) Вычислить:
$64^{\frac{1}{2} \log_8 25}$

Шаг 1. Представим как степень:
$64^{\frac{1}{2} \log_8 25} = \left(64^{\frac{1}{2}}\right)^{\log_8 25}$

Шаг 2. Вычислим корень:
$64^{\frac{1}{2}} = \sqrt{64} = 8$

Подставим:
$\left(8\right)^{\log_8 25}$

Шаг 3. Используем тождество:
$a^{\log_a b} = b$

Получаем:
$8^{\log_8 25} = 25$

Шаг 4. Теперь возвращаемся к полному выражению:
Мы имели:
$\left(8^{\log_8 25}\right)^{\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 5

в) Вычислить:
$121^{\frac{1}{2} \log_{11} 35}$

Шаг 1. Представим степень:
$121^{\frac{1}{2} \log_{11} 35} = \left(121^{\frac{1}{2}}\right)^{\log_{11} 35}$

Шаг 2. Вычислим корень:
$121^{\frac{1}{2}} = \sqrt{121} = 11$

Подставим:
$\left(11\right)^{\log_{11} 35}$

Шаг 3. Применим тождество:
$11^{\log_{11} 35} = 35$

Ответ: 35

г) Вычислить:
$25^{\frac{1}{4} \log_5 9}$

Шаг 1. Разложим по степеням:
$25 = 5^2$,
значит:
$25^{\frac{1}{4}} = (5^2)^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{2}}$

Теперь:
$25^{\frac{1}{4} \log_5 9} = \left(5^{\frac{1}{2}}\right)^{\log_5 9}$

Шаг 2. Применим правило степеней:
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Получаем:
$5^{\frac{1}{2} \cdot \log_5 9}$

Шаг 3. Переставим множители в показателе:
$5^{\log_5 9^{\frac{1}{2}}} = 5^{\log_5 \sqrt{9}}$

Шаг 4. Вычислим корень:
$\sqrt{9} = 3$

Теперь:
$5^{\log_5 3} = 3$

Ответ: 3