ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$\log_3 7 — \log_3 \frac{7}{9} = \log_3 \left(7 : \frac{7}{9}\right) = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$$

Ответ: 2

б)

$$\log_2 15 — \log_2 30 = \log_2 \frac{15}{30} = \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 2^{-1} = -1$$

Ответ: $-1$

в)

$$\log_{\frac{1}{2}} 28 — \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{28}{7} = \log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = -2$$

Ответ: $-2$

г)

$$\log_{0{,}2} 40 — \log_{0{,}2} 8 = \log_{0{,}2} \frac{40}{8} = \log_{0{,}2} 5 = \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = -1$$

Ответ: $-1$

а)

Вычислить:

$$\log_3 7 — \log_3 \frac{7}{9}$$

Шаг 1: Используем формулу разности логарифмов:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right)$$ $$\log_3 7 — \log_3 \frac{7}{9} = \log_3 \left( \frac{7}{\frac{7}{9}} \right)$$

Шаг 2: Делим дроби:

$$\frac{7}{\frac{7}{9}} = 7 \cdot \frac{9}{7} = 9$$ $$\log_3 \left( \frac{7}{\frac{7}{9}} \right) = \log_3 9$$

Шаг 3: Представим 9 как степень 3:

$$9 = 3^2 \Rightarrow \log_3 9 = \log_3(3^2)$$

Шаг 4: Применим свойство логарифма:

$$\log_a(a^r) = r \Rightarrow \log_3(3^2) = 2$$

Ответ:

$$\boxed{2}$$

б)

Вычислить:

$$\log_2 15 — \log_2 30$$

Шаг 1: Применим правило разности логарифмов:

$$\log_2 15 — \log_2 30 = \log_2 \left( \frac{15}{30} \right)$$

Шаг 2: Сократим дробь:

$$\frac{15}{30} = \frac{1}{2}$$ $$\log_2 \left( \frac{15}{30} \right) = \log_2 \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Представим дробь как степень числа 2:

$$\frac{1}{2} = 2^{-1} \Rightarrow \log_2 \left( \frac{1}{2} \right) = \log_2 (2^{-1})$$

Шаг 4: Применим свойство логарифма:

$$\log_2(2^{-1}) = -1$$

Ответ:

$$\boxed{-1}$$

в)

Вычислить:

$$\log_{\frac{1}{2}} 28 — \log_{\frac{1}{2}} 7$$

Шаг 1: Применим формулу разности логарифмов:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right)$$ $$\log_{\frac{1}{2}} 28 — \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{28}{7} \right)$$

Шаг 2: Делим:

$$\frac{28}{7} = 4 \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{28}{7} \right) = \log_{\frac{1}{2}} 4$$

Шаг 3: Представим 4 как степень $\frac{1}{2}$:

$$4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \right)$$

Шаг 4: Применим логарифмическое свойство:

$$\log_a(a^r) = r \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}} \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \right) = -2$$

Ответ:

$$\boxed{-2}$$

г)

Вычислить:

$$\log_{0{,}2} 40 — \log_{0{,}2} 8$$

Шаг 1: Используем формулу:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right)$$ $$\log_{0{,}2} 40 — \log_{0{,}2} 8 = \log_{0{,}2} \left( \frac{40}{8} \right)$$

Шаг 2: Упростим:

$$\frac{40}{8} = 5 \Rightarrow \log_{0{,}2} 5$$

Шаг 3: Заменим основание:

$$0{,}2 = \frac{1}{5} \Rightarrow \log_{0{,}2} 5 = \log_{\frac{1}{5}} 5$$

Шаг 4: Представим 5 как степень $\frac{1}{5}$:

$$5 = \left( \frac{1}{5} \right)^{-1} \Rightarrow \log_{\frac{1}{5}} 5 = \log_{\frac{1}{5}} \left( \left( \frac{1}{5} \right)^{-1} \right)$$

Шаг 5: Используем формулу:

$$\log_a(a^r) = r \Rightarrow \log_{\frac{1}{5}} \left( \left( \frac{1}{5} \right)^{-1} \right) = -1$$

Ответ:

$$\boxed{-1}$$

Итоговые ответы:

а) $2$
б) $-1$
в) $-2$
г) $-1$